Моменты распределения случайной величины

Среди числовых характеристик особое значение имеют моменты – начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется действительное число , определяемое по формуле:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание. Начальный момент существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части каждой из этих формул сходится абсолютно.

Замечание. Иногда используются абсолютные начальные моменты s-го порядка случайной величины X:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ;

Определение. Начальный момент первого порядка называется математическим ожиданием (средним значением по распределению) случайной величины Х.

Математическое ожидание случайной величины X обозначается и выражается через ее закон распределения с помощью формулы:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Математическое ожидание в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана).

Определение. Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно нулю.

Общепринятым для центрированной случайной величины является обозначение . По определению .

Пример 2.1.13. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить и .

Решение. По определению и :

;

.

Ответ: , .

Пример 2.1.14. Дана функция плотности случайной величины Х:

Определить а, затем найти и случайной величины Х.

Решение. Константа a ищется из условия нормировки . Имеем уравнение:

, или .

Отсюда , и функция плотности примет вид:

По определению математического ожидания СВНТ X:

.

Найдем теперь начальный момент третьего порядка :

.

Ответ: , , .

Пример 2.1.15. Плотность случайной величины X представлена на графике (рис. 2.1.6). Найти константу h и математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. Найдем константу h из условия нормировки. Имеем уравнение , или, исходя из геометрического смысла интеграла, . Отсюда .

По определению математического ожидания:

.

Ответ: , .