Механическая интерпретация математического ожидания и дисперсии

Пусть на прямой в точках расположены точечные массы , . В этом случае – центр тяжести, – момент инерции масс относительно центра тяжести. Таким образом, математическое ожидание характеризует место, вокруг которого группируются массы , а дисперсия – степень разбросанности этих масс около математического ожидания.

В заключение этого пункта вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (здесь ):

P	q	p

,

, .

Пример 2.1.17. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: , , и .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: . Отсюда . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

,

,

,

.

Ответ: , , , , .

Пример 2.1.18. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения и , имеет математическое ожидание, равное 2, 2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть . Тогда, согласно условию нормировки, . Используя определение математического ожидания, получим . Имеем уравнение , откуда находим . Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

; .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Ответ: , ,

Пример 2.1.19. Возможные значения случайной величины X таковы: , , . Известно, что , . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

X
P

Найдем вероятности , и , соответствующие возможным значениям X.

По условию , поэтому имеем первое уравнение, связывающее , и : . Аналогично из условия получим второе уравнение: . Третье уравнение возникает из условия нормировки: . Итак, имеем систему:

Решением системы, опуская промежуточные выкладки, являются следующие числа: , , .

Ответ: ряд распределения имеет вид

Пример 2.1.20. Плотность случайной величины X представлена на графике (рис. 2.1.7). Найти константу h. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти , математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. 1) Найдем константу h из условия нормировки. Имеем уравнение , или, исходя из геометрического смысла интеграла, . Отсюда . Таким образом, функция плотности имеет вид:

2) По определению .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда

.

Пусть , тогда .

Таким образом, функция распределения :

График функции распределения приведен на рис. 2.1.8.

3) .

4) По определению математического ожидания , поэтому:

.

По определению дисперсии , поэтому:

.

Ответ: , , , , .