Регресійний аналіз

ОЗНАЧЕННЯ 6.1. Математичний метод, що забезпечує таку підгонку виб­раної кривої, при якій експериментальні точки лягають на неї щонайкраще в сенсі критерію найменших квадра­тів, називається регресійним аналізом.

Загальний вигляд кривої най­кращого наближення аналітик повинен вибрати за результатами вивчення діаграми розкиду. Використовуваний надалі ма­тематичний апарат повинен забезпечувати найкраще наближе­ння кривої до експериментальних даних незалежно від того, на­скільки добре вибраний тип кривої. Під наближенням кривої до експериментальних даних розуміється лише процес об­числення значень констант або параметрів таким чином, щоб сума квадратичних відхилень була мінімальною. Аналі­тик повинен заздалегідь вибрати найкраще апроксимуюче рівняння.

Детальний опис методів регресійного аналізу можна знайти у спеціальній літературі (наприклад, [3]). В даній лекції обмежимося обговоренням простого випадку, коли очікується, що є лінійною функцією однієї змінної .

Основна модель лінійного співвідношення між залежною змінною і незалежною змінною дається рівнянням

, (6.1)

де — початкове значення ;

- тангенс кута нахилу прямої;

- випадкова похибка.

Величини , і невідомі. Якщо ми маємо сукупність даних, що складається з відповідних значень і , оцінки і необхідно отримати з цих даних. Для цього скористуємося наступними рівняннями:

, (6.2)

. (6.3)

ПРИКЛАД 6.1. Нехай маємо чотири експериментальні крапки () і хочемо отримати лінійну апроксимацію цієї сукупності дан­их. Відповідні обчислення наведено в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1.

У відповідності з (6.2) та (6.3) маємо

,

.

Виходячи з цього, рівняння регресії буде мати вигляд

.