Кореляція

Слід відмітити той факт, що найкраще наближення обраної для апроксимації прямої (або кривій) до експериментальних даних зовсім не означає, що реально існуюча фізична залежність щонайкраще описується апроксимуючим рівнянням, відповідним саме цієї лінії. Математичні операції завжди лише наводять до значень параметрів, що забезпечують найкраще (у сенсі критерію найменших квадратів) набли­ження до рівняння вибраного вигляду. Наочний цьому приклад наведено рис. 6.5: тут можна бачити, що одержані експериментальні дані зовсім не відповідають лінійній залежності, хоча пряма підіб­рана так, що забезпечує найкраще наближення до цих дан­их.

Для оцінки того, наскільки добре обрана пряма (і відповідне їй рівняння) насправді узгоджується з експе­риментальними даними, необхідно практично використати кореляційні методи, математичний апарат яких було розглянуто у попередніх лекціях. Кореляційні методи надають можливість судити про те, наскільки тісно улягаються експериментальні точки на апроксимуючу криву. Якщо регресія визначає передбачуване співвідношення між змінними, то кореляція показує, наскільки добре це

Рис. 6.5

співвідношення відображує дійсність. Сильна кореляція між змінними означає, що ці зміни взаємозв'язані (рис. 6.6), проте необхідно мати на увазі, що це ще не до­водить наявність причинно-наслідкового зв'язку між змінними. При регресійному аналізі передбачається наявність при­чинно-наслідкового зв'язку між залежною і незалежною змінними: при кореляційному аналізі таке допущення не робиться.

Часто розповідають історію, що про одному державному діячі, який виявив, що в його державі є вельми сильна кореляція між зростанням продажу пива і збільшенням доходів шкільних вчителів. Звідси він зробив вивід, що немає сенсу підвищувати вчителям зарплату, оскільки вони почнуть споживати більше пива. Ймовірно, він міг би виявити настільки ж сильну кореляцію між зростанням зарплати вчителів і рос­том злочинності, числа незаконнонароджених і інфляції. Фак­тично він міг би знайти сильну кореляцію і зв'язати регресійною кривою будь-які два явища, які зростають більш менш однаковим чином.

У цьому жартівливому прикладі істотне те, що аналітик при­йняв допущення (гіпотезу) про наявність причинно-наслідкового зв'язку між явищами, яке робиться при регресійному аналізі. Але в даному випадку це допущення може і не бути правильним. Кореляція говорить лише про те, наскільки тісно експерименталь­ні точки лягають на апроксимуючу криву. Але вона не може сказати, чи справедливе основне допущення про наявність причинно-наслідкового зв'язку. Кореляційний аналіз показує лише ступінь відповідності одержаних даних гіпотезі, що прийнято.

Рис. 6.6

Коефіцієнт кореляції лежить в межах від — 1 до + 1. Ко­ефіцієнт — 1 відповідає максимальною негативній коре­ляції, коли зменшується із збільшенням , а всі експеримен­тальні точки лежать точно на кривій. Коефіцієнт 0 свідчить про повну відсутність кореляції, а коефіцієнт + 1 — відповідає максимальній позитивній кореляції. Всі ці крайні випадки зустрічаються дуже і дуже рідко; зазвичай коефіцієнт коре­ляції має деяке дробове значення, і його ще слід пере­віряти на статистичну значущість.

Для випадку простої лінійної регресійної задачі (тобто для випадку, коли є одна залежна і одна незалежна змінні, зв'язані між собою лінійно) коефіцієнт коре­ляції обчислюється за формулою

(6.4)

Практичне застосування наведеної формули розглянемо на конкретному прикладі

ПРИКЛАД 6.2. Використовуючи дані з ПРИКЛАДУ 6.1, обчислимо ко­ефіцієнт кореляції , як це показано в таблиці 6.2. У відповідності з формулою (6.4), маємо

.

Таблиця 6.2

Загальний розкид визначається як , тобто рівний сум­і квадратів відхилень від середнього значення . Відношення цієї величини розкиду, що обумовлюється запропонованим регресійним рівнянням, до загального спостережуваного розкиду називається коеф­іцієнтом детермінації і рівно квадрату коефіцієнту кор­еляції. Таким чином, для наведеного прикладу, в якому ми обчислили = 0, 969, коефіцієнт детермінації . Це означає, що в 93, 9% випадків відхилення при змінах відповідає наведеному рівнянню.

.

Контрольні запитання

1. Пояснити практичну суть застосування методу підбору апроксимуючих кривих.

2. Які задачі вирішують методи регресійного та кореляційного аналізу при проведенні апроксимації експериментальних даних?

3. Назвати послідовність кроків при підборі кривої під час проведення апроксимації.

4. Які основні типи кривих використовують при проведенні апроксимації?

5. Пояснити основну ідею застосування методу найменших квадратів.

6. Дати узагальнене означення регресійного аналізу.

7. Навести основне рівняння моделі лінійної регресії.

8. Записати основні співвідношення для визначення коефіцієнтів регресії.

9. Пояснити, які основні задачі вирішуються кореляційними методами при проведенні апроксимації?

10. Що характеризує коефіцієнт кореляції при аналізі експериментальних даних?

11. Навести приклади графічних залежностей експериментальних даних, що відповідають:

а) сильній позитивній кореляції;

б) сильній негативній кореляції;

в) слабкій позитивній кореляції;

г) повній відсутності кореляції.