![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Електричні двополюсники
Математичні моделі простіших елементів Математичні моделі простіших типових елементів, що утворюють технічні системи. Електричні двополюсники. Найпростіші елементи механічних систем Математичні моделі простіших типових елементів, що утворюють технічні системи. При всій різноманітності фізичних і технічних об'єктів, в яких набрякають процеси різної фізичної природи, зазвичай удається виділити окремі блоки, агрегати або вузли, кожен з яких залежно від перетворюваної фізичної субстанції можна розглядати як електричну, механічну поступальну або обертальну, теплову, гідравлічну або пневматичну систему [1]. У загальному випадку ці системи взаємозв'язані, але, використовуючи принцип декомпозиції, їх можна представити сукупністю простих типових елементів, що описуються порівняно нескладними математичними моделями макрорівня. Серед зовнішніх і вихідних параметрів, що характеризують стан кожного такого елементу, удається виділити величини, що мають сенс потенціалів і потоків фізичних субстанцій (наприклад, різниця електричних потенціалів і сила струму, різниця температур і тепловий потік і тому подібне). Ці величини називатимемо потенційними і потоковими відповідно. Зв'язок між цими величинами встановлюють за допомогою так званих рівнянь стану елементу, в які входять також і його внутрішні параметри.
Електричні двополюсники Не дивлячись на відмінність фізичних процесів, що протікають в типових елементах всіляких технічних об'єктів, більшість цих елементів удається об'єднати в три групи, кожну з яких зручно охарактеризувати на прикладі так званих пасивних електричних двополюсників: резистора, конденсатора без втрат заряду і індуктивної котушки без опору. Резистор є характерним представником типового елементу, що має властивість чинити опір перенесенню деякій фізичною субстанції (в даному випадку — електричних зарядів). Для проходження через такий елемент потоку цієї субстанції необхідно створити різницю потенціалів на вході в елемент і виході з нього. Конденсатор володіє властивістю накопичувати цю субстанцію при підвищенні різниці потенціалів, а індуктивна котушка — властивістю інерції, що виявляється в прагненні зберегти потік цієї субстанції незмінним. Виявляється, що серед простих типових елементів, в яких протікають процеси іншої фізичної природи в порівнянні з електричною системою, існують елементи з властивостями, аналогічними вказаним властивостям резистора, конденсатора і індуктивної котушки. Тому розгляд доцільно почати з рівнянь стану простих елементів електричної системи, а потім по аналогії з ними будувати математичні моделі (ММ) типових елементів, характерних для інших технічних систем. У [1] відмічено, що ММ резистора, що описує протікання через нього електричного струму, є добре відома формула закону Ома
де Рис. 8.1 Електрична енергія, що витрачається на подолання опору при протіканні через резистор струму, переходить в теплову енергію, причому вимірювана у ватах (Вт = В • А) потужність тепловиділення на резисторі рівна W = I Електричний конденсатор володіє властивістю нагромаджувати електричний заряд Qe, вимірюваний в кулонах (Кл), пропорційно різниці потенціалів
Енергію електричного поля в конденсаторі, рівну Ее = Qe При зміні в часі сили струму, що протікає через індуктивну котушку, виникає електрорушійна сила (ЕРС) самоіндукції, що перешкоджає зміні сили струму (рис. 8.1, в). В разі котушки, що ідеалізується (без опору), цю ЕРС можна представити як різниця потенціалів на кінцях котушки, де L — її індуктивність, вимірювана
в генрі (Гн). При проходженні електричного струму через котушку кожен її виток пронизує деякий магнітний виток. Для котушки індуктивності приймають, що цей потік однаковий для всіх витків (говорять, що він “зчеплений” з кожним витком) і рівний Таким чином, ММ резистора є рівняння алгебри, а для конденсатора і індуктивної котушки ММ має форму звичайного диференціального рівняння першого порядку. Якщо вважати, що R, С і L в (8.1) - (8.4) не залежать від сили струму і напруги, то ці рівняння встановлюють лінійний зв'язок між I і U, що є ознакою лінійності ММ. Разом з пасивними двополюсниками до типових елементів електричних ланцюгів відносять джерела напруги і струму, умовне позначення яких представлене на рис. 8.2, а і б відповідно. Ідеальне джерело електричної напруги є двополюсником, що задає на своїх полюсах зміну в часі t по певному закону Рис. 8.2 Рис. 8.3 законом I (t) сила струму, що проходить через таке джерело, не залежить від різниці U (t) напруги на його полюсах тобто величиною Практично джерело струму, близьке до ідеального, можна отримати послідовним з'єднанням джерела досить великої напруги і резистора з опором Нехай через резистор тече змінний за часом
де
Таким чином, для резистора сила струму і падіння напруги мають однакову початкову фазу коливань (говорять, що вони збігаються по фазі), тобто ці величини одночасно досягають нульових, максимальних і мінімальних значень (рис. 8.4). У цьому Рис. 8.4 випадку середня за період T =
тобто вона удвічі менше найбільшого миттєвого значення потужності, відповідного проходженню через той же резистор постійного струму силоміць Якщо струм, що змінюється згідно з законом (8.5), тече через котушку з індуктивністю L, то відповідно до (8.4) на котушці виникне падіння напруги
Враховуючи (8.3), нескладно встановити, що для протікання такого струму в ланцюзі, зовнішньому по відношенню до конденсатора ємністю С, падіння напруги на конденсаторі повинне змінюватися згідно із законом
Отже, для конденсатора зміна падіння напруги відстає по фазі на Використовуючи показову форму представлення комплексного числа і формулу Ейлера [1], замість (8.5) -(8.8) запишемо комплексні представлення відповідних функцій:
де - комплексні амплітуди сили струму і відповідних падінь напруги,
називають комплексними опорами відповідних електричних двополюсників або імпедансами (від латинського слова impedio — — перешкоджаю). При струмі, що змінюється за законом (8.5) говорять про активний опір резистора Якщо резистор, індуктивну котушку і конденсатор розглядати як ланка, що перетворює вхідний сигнал (силу струму I (t)) у вихідний сигнал (падіння напруги), то відповідний комплексний опір називають комплексним передавальним числом такої ланки або комплексним коефіцієнтом підсилення. Залежності модуля Рис. 8.5 Зауваження 8.1. Підкреслимо ще раз, що розглянуті двополюсники ідеалізуються, оскільки при побудові їх ММ використані спрощені розрахункові схеми реальних елементів електричних ланцюгів (див. [1]). До відмічених вище допущень слід додати, що не врахована кінцева швидкість поширення електричних і магнітних полів, тобто ці ММ є квазістаціонарними математичними моделями. Таке допущення не наводить до помітних похибок, якщо найменша тривалість процесів, що протікають в цих двополюсниках, задовольняє умові У лінійній ММ процесу, що описується періодичною функцією часу, можна розглядати окремо вплив кожної гармоніки в розкладі цієї функції в ряд Фур'є, а в разі неперіодичного процесу — вплив функції
|