Сходимость. Погрешность аппроксимации. Порядок точности

Качество разностных схем определяется следующими показателями:

¨ устойчивостью;

¨ порядком аппроксимации разностной схемой исходной задачи;

¨ сходимостью разностного решения к точному в узлах сетки;

Устойчивость – внутреннее свойство разностных схем, не связанное со свойствами исходной задачи Коши.

Определение: (сходимость при )

Зафиксируем точку , где – один из узлов сетки, и построим последовательность сеток, таких, что , а зафиксированная точка остается узлом сетки.

Говорят, что численный метод сходится в точке , если:

При.

Говорят, что метод сходится с -м порядком точности, если существует такое положительное число , что:

.

Если подставить точное решение задачи в левую часть разностного уравнения, то получим уравнение

,

где – невязка (погрешность аппроксимации) разностного уравнения на решении исходной дискретной задачи Коши.

Пример: Рассмотрим конструкцию .

Построим из явной схемы Эйлера для нее невязку: .

Оценим невязку:

, где , , .