Оценка погрешности. Правило Рунге

Локальной погрешностью метода называется величина

.

Найдем, например, величину локальной погрешности метода Эйлера:

при условии, что .

Другими словами, – погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения.

Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах сетки. В качестве меры абсолютной погрешности метода принимается величина

.

Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и – некоторые константы. В частности, явный метод Эйлера является методом первого порядка точности.

Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи, как правило, неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правилом Рунге называют наиболее распространенный практический метод оценки погрешности, применяемый в разных вариантах.

Для практической оценки глобальной погрешности приводят вычисления с шагами и . За оценку глобальной погрешности решения, полученного с шагом , принимают величину, равную

,

где – порядок метода.

Для оценки локальной погрешности (погрешности на шаге) интегрирование дифференциального уравнения от узла до узла выполняют дважды: один раз с шагом , другой раз с шагом . В результате получают два приближения к : одношаговое и двухшаговое . Согласно правилу Рунге в качестве оценки локальной погрешности принимают величину

.

Правило Рунге применяют также для повышения точности решения в следующей редакции: если выполняется соотношение , то для вычислений на следующем шаге используется значение , в противном случае – значение .

Контрольные вопросы

1. Как свести дифференциальное уравнение (ДУ) - го порядка к эквивалентной системе ДУ I порядка.

2. Что называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения.

3. Что называется интегральной кривой.

4. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения I порядка.

5. Сформулируйте теорему существования и единственности.

6. Сформулировать условие применимости решения задачи Коши численными методами.

7. Как строится сетка при численном решении задачи Коши.

8. Как выбирается шаг сетки.

9. Какие функции называются сеточными.

10.Что лежит в основе построения конкретного численного метода.

11.Запишите дискретный аналог дифференциального уравнения.

12.Что такое разностная аппроксимация производной.

13.Приведите формулы численного дифференцирования.

14.Какие методы называются - шаговыми.

15.Какой метод называется одношаговым.

16.Какие методы называются явными.

17.Какие методы называются неявными.

18.Запишите разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

19.Какими отличительными свойствами обладает метод Рунге-Кутты.

20.Какая формула описывает метод Эйлера.

21.Сформулируйте теорему об устойчивости метода Эйлера.

22.Какие модификации метода Эйлера существуют.

23.Какая связь между методом Эйлера и методом Рунге-Кутты.