Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод главных элементов.
|
|
Пример: Найти решение систем, используя метод главных элементов.
2, 74x 
– 1, 18x 
+ 3, 17x 
= 2, 18;
1, 12x 
+ 0, 83x 
- 2, 16x 
= -1, 15;
0, 18x + 1, 27x + 0, 76x = 3, 23.
Решение: Вычисления производим по следующей схеме(рис.9.1)
| m(j) | коэффициенты при неизвестных | Свободные члены | |||
| x1 | x2 | x3 | |||
| -1 0, 6814 -0, 2397 | 2, 74 1, 12 0, 18 | -1, 18 0, 83 1, 27 | 3, 17 | 2, 18 -1, 15 3, 23 | |
| -2, 16 0, 76 | |||||
| -1 0, 1597 | 2, 9870 | 0, 0260 1, 5529 | 0, 3354 2, 7074 | ||
| -0, 4769 | |||||
| 1, 5570 | 2, 7609 | ||||
| 0, 0969 | 1, 7732 | 1, 2640 |
Рисунок 9.1
Выберем нулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов любой элемент, например 3, 17(элемент а 
), которой называется главным элементом, а соответствующая строка – главной строкой. Вычислим m 
= -(а 
/а 
), т.е.
1) m 
= -(3, 17/3, 17) = -1;
m 
= -(-2, 16/3, 17) = 0, 6814;
m 
= -(0, 76/3, 17) = -0, 2397.
Теперь к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу, в которой третий столбец состоит из одних нулей (рис.9.2):
(а  )2, 9870
| (а  )0, 0260
(а  )1, 5529
| 0, 3354 2, 7074 | |
(а  )-0, 4769
|
Рисунок 9.2
Т.Е. а 
=m 
*a 
+ a 
=0, 6814*2, 74 + 1, 12 = 2, 9870;
а 
=m 
*a 
+ a 
= -0, 2397*2, 74 + 0, 18 = -0, 4769;
а 
=m 
*a 
+ a 
=0, 6814* -1, 18 + 0, 83= 0, 0260;
b 
=m *b 
+ b 
=0, 6814*2, 18 + -1, 15 = 0, 3354;
b 
=m 
*b 
+ b 
= -0, 2397*2, 18+3, 23= 2, 7074.
Теперь опять выбираем главный элемент, например 2, 9870 (элемент а 
) и вычислим m 
2) m 
= -(2, 9870/2, 9870)= -1;
m 
= -(-0, 4769/2, 9870)= 0, 1597.
Теперь ко второй неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу (3), в которой первый столбец также состоит из одних нулей (рис.9.3):
| 1, 5570 | 2, 7609 |
Рисунок 9.3
Т.Е. а 
=m *a 
+ a 
=0, 1597*0, 0260+ 1, 5529= 1, 5570;
b 
=m 
*b 
+ b 
=0, 1597*0, 3354+ 2, 7074= 2, 7609.
Теперь непосредственно находим корни уравнения:
1) находим х 
т.к. последний разрешающий элемент находится в столбце х 
.
х = b 
/a 
= 2, 7609/1, 5570= 1, 7732.
2) находим х 
т.к. предпоследний разрешающий элемент находится в столбце х 
.
х 
= (b 
-a 
*x 
)= (0, 3354 -0, 0260*1, 7732)/2, 9870= 0, 0969.
3) находим х 
т.к. первый разрешающий элемент находится в столбце х 
.
х 
= (b 
-a 
*x 
-a 
*x 
)/a 
= 2, 18- (-1, 18)*1, 7732- 2, 74*0, 0969= 1, 2640.
Ответ: х 
= 0, 097;
х 
= 1, 773;
х 
= 1, 264.