Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.
|
|
Пример 1. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.
Условия задачи:
| х | у |
| 0, 05 | 0, 050042 |
| 0, 10 | 0, 100335 |
| 0, 17 | 0, 171657 |
| 0, 25 | 0, 255342 |
| 0, 30 | 0, 309336 |
| 0, 36 | 0, 376403 |
Вычислить значение функции f(x) = y(x) при х = 0, 263.
Решение:
Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой f(x) ≈ Пn+1* 
(yi /Di), где
Пn+1 =(x-x0)*(x-x1)*…*(x-xn)
Di = (xi-x0)*(xi-x1)*…*(xi -xi-1)*(x-xi)*(xi –xi+1)*…*(xi –xn).
Все вычисления произведем по таблице(рис.11.1):
| i | Разности | Di | yi /Di | |||||
| (x-x0) | (x-x0) | (x0-x2) | (x0-x3) | (x0-x4) | (x0-x5) | Сумма по 0-строке | ||
| (x1-x0) | (x-x1) | (x1-x2) | (x1-x3) | (x1-x4) | (x1-x5) | Сумма по 1-строке | ||
| (x2-x0) | (x2-x1) | (x-x2) | (x2-x3) | (x2-x4) | (x2-x5) | Сумма по 2-строке | ||
| (x3-x0) | (x3-x1) | (x3-x2) | (x-x3) | (x3-x4) | (x3-x5) | Сумма по 3-строке | ||
| (x4-x0) | (x4-x1) | (x4-x2) | (x4-x3) | (x-x4) | (x4-x5) | Сумма по 4-строке | ||
| (x5-x0) | (x5-x1) | (x5-x2) | (x5-x3) | (x5-x4) | (x-x5) | Сумма по 5-строке |
Рисунок 11.1
Т.е. вычисляются как:
D0 = (x-x0)* (x-x0)* (x0-x2)* (x0-x3)* (x0-x4)* (x0-x5);
D1 = (x1-x0)* (x-x1)* (x1-x2)* (x1-x3)* (x1-x4)* (x1-x5);
D2 = (x2-x0)* (x2-x1)* (x-x2)* (x2-x3)* (x2-x4)* (x2-x5);
D3 = (x3-x0)* (x3-x1)* (x3-x2)* (x-x3)* (x3-x4)* (x3-x5);
D4 = (x4-x0)* (x4-x1)* (x4-x2)* (x4-x3)* (x-x4)* (x4-x5);
D5 = (x5-x0)* (x5-x1)* (x5-x2)* (x5-x3)* (x5-x4)* (x-x5);
Производя эти вычисления, получим следующую таблицу(рис.11.2)
| i | Разности | Di | y/Di | |||||
| 0, 213 | -0, 05 | -0, 12 | -0, 2 | -0, 25 | -0, 31 | -1, 9809Е-05 | -2526, 23 | |
| 0, 05 | 0, 163 | -0, 07 | -0, 15 | -0, 2 | -0, 26 | 4, 4499Е-06 | 22547, 7 | |
| 0, 12 | 0, 07 | 0, 093 | -0, 08 | -0, 13 | -0, 19 | -1, 54365Е-06 | -111202 | |
| 0, 2 | 0, 15 | 0, 08 | 0, 013 | -0, 05 | -0, 11 | 1, 716Е-07 | ||
| 0, 25 | 0, 2 | 0, 13 | 0, 05 | -0, 037 | -0, 06 | 7, 215Е-07 | 428740, 1 | |
| 0, 31 | 0, 26 | 0, 19 | 0, 11 | 0, 06 | -0, 097 | -9, 80402Е-06 | -38392, 7 |
Рисунок 11.2
Итак,
П5+1 = 0, 213*0, 163*0, 093*0, 013*(-0, 037)*(-0, 097)= 1, 50649Е-07= 0, 150649*10-6.
(yi /Di)= -2526, 23+25547, 7-111202+1488007+428740, 1-38392, 7= 1787173, 95.
Теперь непосредственно вычисляем
f(0, 263)= П5+1* (yi /Di)= 0, 150649*10-6 * 1787173, 95= 0, 26924.
Ответ: 0, 26924.