Метод Зейделя. Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближения неизвестной х учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-го приближения неизвестных

х , х … х

Например х =а * х +а *х

х =а * х +а *х

Пример: Метод Зейделя решить систему с точностью до 0, 001

4, 5х -1, 8х +3, 6х =-1, 7

3, 1х +2, 3х -1, 2х =3, 6

1, 8х +2, 5х +4, 6х =2, 2

Решение: приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

7, 6х +0, 5х +2, 4х =1, 9 [(1)+(2)]

2, 2х +9, 1х +4, 4х =9, 7 [2*(3)+(2)-(1)]

-1, 3х +0, 2х +5, 8х = -1, 4 [(3)-(2)]

Теперь в левой части оставляем 10х , а оставшиеся компоненты переносим в правую часть:

10х =2, 4х -0, 5х -2, 4х +1, 9

10х = -2, 2х +0, 9х -4, 4х +9, 7

10х =1, 3х -0, 2х -4, 2х -1, 4

Теперь каждое уравнение делим на 10:

х =0, 24х -0, 05х -0, 24х +0, 19

х = -0, 22х +0, 09х -0, 44х +0, 97

х =0, 13х -0, 02х -0, 42х -0, 14

для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):

х =0, 19; х =0, 97; х = -0, 14.

Теперь вычисляем первые приближения:

х =а *х +а *х +а *х +b =0, 24*0, 19-0, 05*0, 97-0, 24*(-0, 14)+0, 19=0, 2207

х =а *х +а *х +а *х +b = -0, 22*0, 2207+0, 09*0, 97-0, 44*(-0, 14)+0, 97=1, 0703

х =а *х +а *х +а *х +b =0, 13*0, 2207-0, 02*1, 0703-0, 42*(-0, 14)-0, 14= - 0, 1915

Затем вычисляем вторые приближения, третьи и т.д. До тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0, 001

Реализация данного метода в среде Excel

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 10.2

Рисунок 10.2

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3: D5. В ячейки блока B9: B11 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A14: C14 записываем последующие приближения:

Для х : А15=$G$3*A14+$I$3*B14+$K$3*C14+$M$3;

Для х : B15=$G$4*A15+$I$4*B14+$K$4*C14+$M$4;

Для х : С15=$G$5*A15+$I$5*B15+$K$5*C14+$M$5;

Затем копируем данные формулы:

A15 в A16; B15 в B16; C15 в C16;

Проделываем эти операции до тех пор, пока |x -x |< =0.001; |x -x |< =0.001; |x -x |< =0.001; |x -x |< =0.001;

Данная разность вычисляется в ячейках блока N14: P14

Для х : N14=ABS(A15-A14);

Для х : O14=ABS(B15-B14);

Для х : P14=ABS(C15-C14);

Затем копируем данные формулы: N14 в N15; O14 в O15; P14 в P15;

Ответ: х =0, 247; х =1, 114; х = -0, 224

Задания для самоконтроля: решить систему с точностью до 0, 001