Частичные суммы образуют числовую последовательность; эта последовательность может иметь конечный или бесконечный предел, либо не иметь предела.

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм:

,

то говорят, что ряд (1) сходится, а число — его сумма. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что ряд расходится.

Примеры. 1. Разделим отрезок , имеющий длину 1, пополам и в качестве возьмем длину левой части: .

Далее, оставшуюся правую часть разделим пополам и в качестве возьмем длину левой ее половины: и т.д. Продолжая процесс до бесконечности, получаем для длины отрезка представление в виде суммы бесконечного числа слагаемых, которые являются членами геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем :

(рис. 1). Здесь частичные суммы:

стремятся к длине исходного отрезка, то есть к : . Ряд сходится, и его сумма равна .

2. Рассмотрим ряд

у которого, очевидно, . Предел частичных сумм бесконечен; ряд расходится.

3. Рассмотрим ряд

.

Здесь последовательность частичных сумм

не имеет предела; ряд расходится.

Наряду с рядами вида , в которых нумерация слагаемых начинается с единицы, рассматривают также ряды, в которых нумерация начинается с произвольного целого числа :

После перенумерации членов по формуле такие ряды принимают вид (1), и для них сохраняются понятия сходимости и суммы ряда.