Знакочередующиеся ряды

Определение. Пусть задана последовательность , в которой все члены положительны. Ряды

(13)

и

(14)

называются знакочередующимися. Ряды (13) и (14) отличаются только постоянным множителем и с точки зрения сходимости ведут себя одинаково.

Теорема (признак Лейбница). Пусть члены знакочереду- ющегося ряда (13) удовлетворяют двум условиям:

1) модули членов ряда монотонно убывают:

;

2) .

Тогда ряд (13) сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству (для ряда (14), соответственно, ).

Доказательство. Докажем сначала сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами . Имеем:

— сумма положительных слагаемых, так что , и последовательность возрастает. С другой стороны

,

причем значение каждой разности в скобках положительно; следовательно, . Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху числом ; по теореме Вейерштрасса существует предел .

Докажем теперь, что последовательность частичных сумм с нечетными номерами имеет тот же предел :

.

Значит и вся последовательность частичных сумм

имеет предел . ■

Определение. Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница называется рядом типа Лейбница.

Следствие для остатка ряда типа Лейбница. Оценим погрешность, получающуюся при замене суммы ряда типа Лейбница (13) на частичную сумму , то есть погрешность приближенного равенства , получаемую при отбрасывании остатка ряда

. (15)

Отброшенный остаток также является рядом типа Лейбница, и потому для его суммы выполняется неравенство: . По теореме об остатке ряда (п. 1.4): , так что — погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Пример. Рассмотрим знакочередующийся ряд

.

Последовательность монотонно стремится к нулю. По признаку Лейбница ряд сходится.

Отметим, что знакочередующиеся ряды могут сходиться весьма медленно, и для обеспечения требуемой на практике точности приближенного равенства нужно включать в частичную сумму большое число слагаемых.