Признаки сравнения положительных рядов

Будем рассматривать ряды с положительными членами

(8)

и

, (9)

где при всех .

Частичные суммы этих рядов и , соответственно, будучи составлены из положительных слагаемых, монотонно возрастают с ростом числа слагаемых .

Теорема (признак сравнения по неравенству). Пустьпри всех выполняется неравенство: . Тогда:

1) если ряд (9) с бó льшими членами сходится, то ряд (8) с меньшими членами также сходится;

2) если ряд (8) с меньшими членами расходится, то ряд (9) с бó льшими членами также расходится.

Доказательство. 1. Пусть сначала ряд (9) сходится и имеет сумму ; при этом (в силу строгой монотонности последовательности ) при всех : .

Ввиду неравенства , аналогичное неравенство выполняется и для частичных сумм: , так что

. (10)

Итак, последовательность частичных сумм ряда (8) монотонно возрастает и ограничена сверху числом . Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел последовательности и ряд (8) сходится.

2. Пусть теперь ряд (8) расходится. Тогда последовательность частичных сумм неограниченно возрастает, и в силу неравенства последовательность также неограниченно возрастает; следовательно, ряд (9) расходится. ■

Примеры. 1. Рассмотрим ряд . Сравним его с рядом , который сходится, поскольку образован геометрической прогрессией со знаменателем . Ввиду неравенства , исходный ряд также сходится.

2. Рассмотрим ряд . Сравним его с рядом , который расходится (см. пример на с. 7). Ввиду неравенства , исходный ряд также расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть существует конечный предел

,

и ряд (9) сходится. Тогда ряд (8 ) также сходится.

Доказательство. Поскольку , то под знаком предела стоит положительная величина, и по теореме о предельном переходе в неравенстве . Зафиксируем . Тогда при всех , начиная с некоторого :

.

Поскольку ряд сходится (п. 1.4), то сходится также ряд ; тогда по предыдущей теореме сходится ряд , а вместе с ним и ряд . ■

Замечание. Если в условии теоремы , то

,

и тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда . Итак, при ряды (8) и (9) сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. 1. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся рядом . Поскольку

,

то ряд сходится.

2. Рассмотрим ряд . Сравним его с расходящимся рядом . Поскольку

,

то ряд расходится.