Арифметические свойства сходящихся рядов

Теорема. Пусть ряды и сходятся, и их суммы равны, соответственно, и . Тогда ряды и , полученные почленным сложением и вычитанием исходных рядов, также сходятся, и их суммы равны, соответственно, и .

Доказательство. Пусть и — частичные суммы исходных рядов. Тогда числа и являются частичными суммами рядов, полученных почленным сложением и вычитанием. По свойствам предела:

. ■

Теорема. Пусть ряд сходится, и его сумма равна . Тогда ряд , полученный почленным умножением исходного ряда на постоянное число , также сходится, и его сумма равна .

Доказательство. Пусть — частичная сумма исходного ряда. Тогда частичная сумма нового ряда:

.

Поэтому

. ■

Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянное число.