Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Признак сходимости Даламбера
|
|
Теорема. Пусть для ряда 
с положительными членами 
существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, равный 
:
.
Тогда: 1) ряд сходится, если 
;
2) ряд расходится, если 
.
Доказательство. 1. Пусть сначала 
. Выберем число 
, для которого 
. Тогда существует номер 
такой, что при всех натуральных 
выполняется неравенство
.
Отсюда последовательно получаем:
;
; (*)
; … и т.д.
Рассмотрим теперь остаток исходного ряда:
(11)
Поскольку ряд
,
образованный геометрической прогрессией со знаменателем , где 
, сходится (п. 1.3), то в силу неравенств (*) сходится и остаток (11), а значит, и сам ряд.
2. Если 
, то существует номер такой, что при всех натуральных выполняется неравенство
,
и общий член ряда не может стремиться к нулю. Следовательно, по необходимому признаку содимости ряд расходится. ■
Замечание. При 
« признакне работает »: существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся рядов с ( см. ниже п. 1.10 ).
Пример. По определению факториала:
при 
.
Рассмотрим при фиксированном 
ряд 
. Здесь 
. Имеем
.
Следовательно ряд сходится. По необходимому признаку сходимости отсюда следует, что
. (12)
Равенство (12) будет использовано в дальнейшем.