Абсолютная и условная сходимость

Определение. Ряд

(16)

называется знакопеременным, если среди его членов присутствуют как положительные, так и отрицательные числа (в произвольном порядке).

Рассмотрим наряду со знакопеременным рядом (16) ряд, составленный из модулей его членов:

. (17)

Определение. Если ряд (17), составленный из модулей, сходится, то ряд (16) называется абсолютно сходящимся.

Теорема. Если знакопеременный ряд (16) является абсолютно сходящимся, то он сходится (в обычном смысле).

Доказательство. Пусть — частичная сумма исходного ряда (16); — частичная сумма ряда (17).

По условию существует конечный предел , причем при всех : . Обозначим через сумму положительных слагаемых, входящих в , а через — сумму модулей отрицательных слагаемых, входящих в . Тогда .

Последовательности и монотонно возрастают и ограничены сверху числом : , и . Поэтому у них существуют конечные пределы: , . Тогда

.

Значит, ряд (16) сходится. Его сумма равна . ■

Определение. Знакопеременный ряд (16) называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся, то есть если ряд (17), составленный из модулей его членов, расходится.

Условная сходимость ряда (16) связана в первую очередь не с тем, что его слагаемые быстро стремятся к нулю, а лишь с тем, что в частичных суммах слагаемые разных знаков в значительной мере взаимно погашают друг друга.

Пример. Рассмотрим снова знакочередующийся ряд

. (*)

Как уже известно, этот ряд сходится. В то же время ряд, составленный из модулей,

является гармоническим и потому расходится. Следовательно, ряд (*) сходится условно.

Отметим без доказательства, что абсолютно сходящиеся ряды ведут себя аналогично суммам с конечным числом слагаемых:

1) при любой перестановке членов сходимость таких рядов не нарушается, и сумма не изменяется;

2) ряды можно перемножать почленно, располагая попарные произведения в любом порядке, например,

;

при этом сумма ряда, полученного почленным перемножением, равна произведению сумм исходных рядов.

Напротив, сходимость условно сходящихся рядов имеет в некотором смысле случайный характер и связана с конкретным порядком следования членов ряда. Отметим, что имеет место следующая

Теорема. Если ряд сходится условно, то за счет изменения порядка следования членов, можно обеспечить как сходимость ряда к любому наперед заданному значению суммы, так и расходимость ряда (cм., например, [3]).