Остаток ряда

Еслиу ряда

( 3 )

отброситьпервые слагаемых, то ряд из оставшихся членов

, ( 4 )

где , называется м остатком ряда (3).

Пусть — частичная сумма ряда (3), — его сумма; — частичная сумма ряда (4), — его сумма.

Теорема. Если исходный ряд (3) сходится, то при любом

сходится его остаток (4). При этом

. (5)

Доказательство. Зафиксируем количество отброшенных членов . При и (так что ) имеем:

.

Отсюда:

.

Итак, ряд (4) сходится, и его сумма связана с суммой исходного ряда формулой:

. ■

Теорема. Если при некотором остаток ряда сходится, то сходится исходный ряд (3). При этом справедлива формула (5).

Доказательство. При по аналогии с предыдущим:

.

Ряд (3) сходится, и его сумма связана с суммой остатка формулой:

. ■

Из двух последних теорем вытекает, что сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка.

Поэтому при исследовании сходимости ряда можно не учитывать любое количество начальных членов. Их отбрасывание повлияет на сумму, но не повлияет на сходимость или расходимость ряда.