Ряд, образованный геометрической прогрессией

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем :

.

Частичной суммой этого ряда является сумма первых членов геометрической прогрессии. Рассмотрим возможные случаи для знаменателя .

1. . В этом случае все члены прогрессии одинаковы, и ряд имеет вид:

.

Предел общего члена отличен от нуля: ; следовательно ряд расходится.

2. . Ряд имеет вид:

.

Предел общего члена не существует; следовательно ряд расходится.

3. . В этом случае предел общего члена бесконечен:

; следовательно ряд расходится.

4. . В этом случае частичная сумма ряда — сумма первых членов геометрической прогрессии — выражается формулой:

.

Предел последовательности части сумм существует и конечен:

;

следовательно, ряд сходится, и его сумма равна .

Подведем итог: ряд, образованный геометрической прогрессией со знаменателем , сходится, если , и расходится, если .