Равномерное распределение

Определение: Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность имеет вид:

(18)

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 8.

Рис.8.

Теорема. Если непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , то:

; ; .

Замечание. Число — середина отрезка ; число — длина отрезка ;

Доказательство. Для определения параметра воспользуемся свойством плотности (10):

, откуда .

Далее,

.

. ▄

Замечание. Полученные значения математического ожидания и дисперсии равномерного распределения хорошо иллюстрируют их статистический смысл.

Так, в силу симметрии графика плотности относительно середины отрезка, при большом числе реализаций случайной величины одинаково часто будут встречаться значения случайной величины с обеих сторон от этой середины. Поэтому среднее арифметическое должно оказаться близким к ней.

Чем больше длина отрезка, то есть число , тем на большем промежутке «размазаны» возможные значения, тем больше должна быть дисперсия, которая как раз и пропорциональна квадрату длины отрезка .

Аналогичными вычислениями получается выражение для функции распределения равномерного распределения: