Нормированные случайные величины.

Определение. Случайная величина называется центрированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю: .

Пример. Случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами и , является центрированной, поскольку .

Напомним, что для случайной величины , имеющей математическое ожидание , случайная величина называется отклонением (отклонением от математического ожидания).

Теорема. Отклонение является центрированной случайной величиной.

Доказательство. По свойствам математического ожидания:

. ▄

Определение. Случайная величина называется нормированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице: .

Теорема. Для случайной величины , у которой , (так что — среднеквадратическое отклонение), случайная величина

(21)

является нормированной.

Доказательство. По свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

. ▄

Теорема. Для нормированной случайной величины справедлива формула:

. (22)

Доказательство. По формуле разности математических ожиданий (7):

. ▄