Коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и , имеющих корреляционный момент и средние квадратические отклонения , называется число

.

В то время как корреляционный момент является размерной величиной, значение которой зависит от выбора единиц измерения и , коэффициент корреляции является безразмерной величиной.

Теорема (об оценке коэффициента корреляции). Справедливо неравенство:

.

Доказательство. Пусть и – соответствующие нормированные случайные величины, полученные по формуле (21). Тогда, внося постоянные множители под знак математического ожидания, имеем:

. (23)

Применим к дисперсии формулу разности математических ожиданий (7):

(применим формулу (22) к первому и третьему слагаемым, формулу (23) — ко второму)

.

Итак, . ▄

Замечание. В ходе доказательства для нормированных случайных величин установлено равенство:

. (24)

Теорема (необходимое условие независимости). Если

случайные величины и независимы, то .

Доказательство. Поскольку и независимы, то

. ▄

Теорема (критерий линейной связи). Для того чтобы случайные величины и были связаны функциональной линейной зависимостью вида , необходимо и достаточно выполнение условия .

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть ; по свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

.

Теперь

.

2. Достаточность. Пусть , то есть . Если, например, , то с учетом (24):

,

так что . Тогда, по свойству дисперсии

, то есть

.

Остается положить

; . ▄