Закон больших чисел в форме Я.Бернулли.

Теорема. Пусть случайная величина — относительная частота события в независимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха . Тогда имеет место сходимость по вероятности

. (30)

Замечание. Закон больших чисел в форме Бернулли является математическим выражением эмпирического закона больших чисел, в соответствии с которым при большом числе испытаний относительная частота колеблется вблизи теоретической вероятности (см. [13], п. 3.5).

Доказательство. Введем вспомогательные случайные величины — индикатор -го испытания (см. п. 1.9):

, если в -м испытании имела место неудача;

, если в -м испытании имел место успех.

Случайные величины независимы, поскольку связаны с исходами независимых испытаний, Они имеют одинаковый закон распределения , одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии: , .

Случайная величина (число успехов) есть сумма индикаторов: (в сумме справа столько единиц, сколько раз в испытаниях имел место успех, а остальные слагаемые равны нулю). Относительная частота есть среднее арифметическое индикаторов:

.

Согласно частному закону больших чисел в форме Чебышева . ▄