Свойства функции распределения

1. Для любых и выполняется неравенство:

.

Это следует из общих свойств вероятности случайного события ([13], п. 3.2).

2. Функция является неубывающей по каждому аргументу:

при : ;

при : .

Рис. 10.

Доказательство. Пусть, например, . Тогда

— сумма несовместных событий. Следовательно

, (31)

откуда , так как последнее слагаемое в (31), будучи вероятностью случайного события, неотрицательно. ▄

3. Поведение функции распределения на бесконечности:

;

;

;

.

(без доказательства).

4. Если – функция распределения двумерной случайной величины , а — функции распределения составляющих и , то

.

(без доказательства).

Определение. Функции распределения и составляющих двумерной случайной величины называются частными распределениями.

5. Вероятность попадания случайной точки в полосу (рис. 11):

; (32)

. (33)

Рис.11.

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Событие

— сумма попарно несовместных событий. Переходя к вероятностям, получаем:

,

откуда следует нужное равенство. ▄

6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 12):

Рис.12.

. (34)

Доказательство. Имеет место равенство случайных событий (рис.13):

— сумма несовместных событий. Переходя к вероятностям, получаем:

P =

.

Обе вероятности в правой части – это вероятности попадания в соответствующие полосы. Применяя к ним формулу (32) при и соответственно, получаем требуемое равенство (34). ▄

Рис.13.