Критерии независимости составляющих

Напомним, что случайные величины и независимы, если для любых промежутков и являются независимыми события и , так что вероятность их произведения равна произведению соответствующих вероятностей:

.

Теорема. Для того чтобы составляющие и двумерной случайной величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы ее функция распределения была равна произведению функций распределения составляющих:

. (41)

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть составляющие и независимы. Тогда

.

2. Не приводя исчерпывающего доказательства, дадим пояснения, относящиеся к д остаточности. Пусть . По определению функции распределения в двумерном и одномерном случае, это означает, что

,

то есть события и независимы. Можно доказать, что тогда и для любых промежутков и события и также независимы. Последнее и означает независимость случайных величин и . ▄

Следствие. Для того чтобы составляющие и непрерывной двумерной случайной величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство для плотностей:

.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть составляющие и независимы. Тогда справедливо равенство (41). Дифференцируя его дважды по и по , получаем:

, или .

2. Достаточность. Пусть . Интегрируя это равенство по множеству

(см. рис. 14), получаем:

(выносим за знак внутреннего интеграла множители, не зависящие от )

.

Применяя к левой части формулу (35), а к правой — определение функции распределения в одномерном случае (п. 2.1), получаем: . ▄

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2001. — 575 с..

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. — 478 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979. — 400 с.

4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: УРСС, 2003. — 205 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2001. — 318 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. М.: Высшая школа, 1997. — 416 с.

7. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

8. Шкадова А.Р., Нырков А.П. Теория вероятностей. СПб.: СПГУВК, 2003. — 198 с.

9. Ястребов М.Ю. Схема равновозможных исходов. СПб.: СПГУВК. 1994. — 13 с.

10. Ястребов М.Ю. Производная и исследование функций. СПб.: СПГУВК. 2003. — 45 с.

11. Ястребов М.Ю. Введение в математическую логику. СПб.: СПГУВК, 2003. — 71 с.

12. Ястребов М.Ю. Математика. Неопределенный и определенный интегралы. СПб.: СПГУВК. 2004. — 55 с.

13. Ястребов М.Ю. Математика. Теория вероятностей. Часть I. Вероятности случайных событий. СПб.: СПГУВК, 2004. — 43 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………...3

1.1. Понятие случайной величины. …………………………...…….…... 3

1.2. Функция распределения случайной величины. ………………….... 3

1.3. Закон распределения дискретной случайной величины. ……….... 5

1.4. Функция распределения дискретной случайной величины. ……... 6

1.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины. ….. 8

1.6. Свойства математического ожидания. ………………...…………... 9

1.7. Дисперсия дискретной случайной величины. ………………….... 13

1.8. Свойства дисперсии. ………………………………………………. 15

1.9. Биномиальное распределение...…..………………………………. 19

1.10. Распределение Пуассона...….……………………………..………. 20

ГЛАВА II. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ………..…22

2.1. Плотность непрерывной случайной величины. ………………….. 22

2.2. Особенность непрерывной случайной величины ……….……….. 24

2.3. Вероятностный смысл плотности распределения …………….….. 24

2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной

величины. …………………………………………………………… 25

2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины. …….…………… 27

2.6. Нормальное распределение ……………………………….………. 27

2.7. Показательное распределение …………………………….………. 31

2.8. Равномерное распределение …………………………..…………... 33

2.9. Преобразование случайных величин ………………...…………… 35

2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального

распределения ……………………………………………......…… 37

2.11 Корреляция случайных величин …………………………………. 40

ГЛАВА Ш. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ………………………………44

3.1. Первое неравенство Чебышева ……………………….………….. 44

3.2. Второе неравенство Чебышева ……………………….………….. 44

3.3. Сходимость по вероятности ……………………………………… 45

3.4. Общий закон больших чисел в форме Чебышева ……………..... 46

3.5. Частный закон больших чисел в форме Чебышева …………...... 47

3.6. Закон больших чисел в форме Я.Бернулли ……………...……… 48

3.7. Центральная предельная теорема …………………………...…… 49

ГЛАВА IV. Двумерные случайные величины ……………………..… 51

4.1. Функция распределения двумерной случайной величины …...… 51

4.2. Дискретные двумерные случайные величины ……………….….. 55

4.3. Непрерывные двумерные случайные величины ……………….... 55

4.4. Вероятность попадания случайной точки

в заданную область ……………………………………….……….. 58

4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной

случайной величины ………………………………………………. 59

4.6. Условные законы распределения составляющих ………….…… 60

4.7. Критерии независимости составляющих ……………………….. 61

Список литературы. …………………………………..………………… 64