Вероятность попадания случайной точки в заданную область

Теорема. Пусть двумерная случайная величина непрерывна с плотностью , — произвольная область плоскости . Тогда

. (39)

Поясним теорему. Разобьем область вертикальными и горизонтальными прямыми на непересекающиеся частичные области (почти все они являются прямоугольниками).

По формуле (37) для этих прямоугольников:

,

откуда, суммируя по всем прямоугольникам:

.

В левой части последнего равенства — сумма вероятностей попарно несовместных событий. По аксиоме сложения, примененной «в обратном направлении», она равна вероятности суммы этих событий; эта сумма событий означает попадание в объединение частичных областей:

.

Если ранг разбиения стремится к нулю, то объединение частичных прямоугольных областей стремится покрыть всю область , а интегральная сумма в правой части стремится к соответствующему двойному интегралу. В пределе получаем:

. ▄