Общий закон больших чисел в форме Чебышева.

Термином «закон больших чисел» объединяют круг теорем, утверждающих, что с вероятностью близкой к единице произойдет некоторое случайное событие , зависящее от неограниченно увеличивающегося числа других случайных событий, каждое из которых оказывает лишь незначительное влияние на .

Теорема. Пусть последовательность случайных величин удовлетворяет трем условиям:

1. Случайные величины независимы (см. п. 3.6).

2.Они имеют математические ожидания и дисперсии .

3. Дисперсии ограничены в совокупности, то есть при всех :

.

Тогда

(28)

Замечание. Левая часть формулы (28) есть разность между средним арифметическим первых случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий. Таким образом, теорема означает, что с увеличением числа слагаемых среднее арифметическое реализованных значений практически всегда оказывается близким к среднему арифметическому математических ожиданий.

Доказательство. Положим . По свойствам математического ожидания:

.

Поэтому равенство (28), которое нужно доказать, принимает вид:

.

Зададим произвольное . Применим к второе неравенство Чебышева:

. (*)

По свойствам дисперсии:

(пользуемся условием )

. Тогда по принципу сжатой переменной, примененному к последовательности , получаем:

.

Теперь, применяя тот же принцип сжатой переменной к последовательности , получаем из двойного неравенства (*), что

. ▄