Центральная предельная теорема.

Эмпирически замечен факт: результат совместного влияния большого числа независимых случайных величин, каждая из которых в отдельности влияет на общую сумму лишь незначительно, приводит к нормальному распределению.

Термином «центральная предельная теорема» (ЦПТ) объединяют круг теорем, которые в различных формах описывают математически это стремление к нормальному закону. Приведем формулировку одной из теорем круга ЦПТ.

Теорема (ЦПТ в форме Леви). Пусть последовательность случайных величин удовлетворяет трем условиям:

1. Все независимы.

2. Все имеют одинаковую функцию распределения: при всех выполняется равенство

3. Все имеют математические ожидания и дисперсии: , (эти характеристики одинаковы для всех случайных величин в силу второго условия).

Тогда для функций распределения случайных величин при каждом выполняется равенство: , где — функция распределения нормального закона с параметрами и (см. п. 2.7).

Замечание. По свойствам математического ожидания и дисперсии случайные величины имеют те же характеристики, что и предельное распределение : .