Частный закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема. Пусть случайные величины независимы, и имеют одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии . Тогда имеет место сходимость по вероятности:

. (29)

Замечание. Условия теоремы выполняются, в частности, если независимые случайные величины имеют одинаковое распределение (одинаковую функцию распределения), и у них существуют математическое ожидание и дисперсия.

Доказательство. Выполняются все условия предыдущей теоремы; при этом

.

Согласно общему закону больших чисел, имеем:

. ▄

Замечание. Формулы (28) и (29) являются математическим выражением давно установленного эмпирически факта устойчивости среднего арифметического большого числа независимых случайных величин, — устойчивости, при которой существенные отклонения среднего арифметического реализованных значений от общего математического ожидания отдельных слагаемых являются редкими событиями. Это существенно дополняет свойство дисперсии среднего арифметического (п. 1.8).

Причиной такой устойчивости, как уже отмечалось в п. 1.8, является взаимное погашение отклонений разных знаков отдельных слагаемых при их суммировании в среднем арифметическом.