Вероятностный смысл плотности

Пусть двумерная случайная величина непрерывна и имеет непрерывную плотность . Обозначим через вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с площадью (рис. 15).

Рис. 15.

По формулам (34) и (35):

(применим свойство аддитивности к внешнему интегралу)

(применим свойство аддитивности к внутреннему интегралу)

.

Итак,

. (36)

Вывод: вероятность попадания непрерывно распределенной случайной точки в прямоугольник равна двойному интегралу от плотности по этому прямоугольнику.

Следствие: Применяя к двойному интегралу в (36) теорему о среднем, получаем для вероятности попадания в прямоугольник ABCD со сторонами :

, (37)

где — некоторая точка прямоугольника. Отсюда

. Если теперь , то точка неограниченно приближается к точке , так что

. (38)

Итак, плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины при малых приближенно равна отношению вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника.