I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.

Теорема. Пусть непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Тогда для всякого промежутка вероятность попадания значения в этот промежуток задается формулой:

. (19)

Доказательство. Поскольку для непрерывной случайной величины вероятность попадания в промежуток не зависит от типа промежутка (п. 2.2), докажем формулу (19) для интервала . Введем случайную величину

.

Она получена из линейным преобразованием. По предыдущей теореме имеет нормальное распределение с параметрами и . Ее плотностью является дифференциальная функция Лапласа , одной из первообразных которой является интегральная функция Лапласа .

Ввиду равносильности неравенств

,

получаем для вероятностей:

.

Применяя к последнему интегралу формулу Ньютона-Лейбница с первообразной , получаем окончательно:

. ▄

Пример. Пусть имеет нормальное распределение с параметрами и . Найдем вероятность попадания в отрезок .

Здесь . Учитывая нечетность функции , получаем:

.

В соответствии с эмпирическим законом больших чисел, следует ожидать, что при большом числе испытаний относительная частота попадания реализованного значения случайной величины в отрезок окажется близкой к 82%.