Орнатуға арналған есеп.

Эволюциялық есептердің стационарлы шешімдері. Пуассон тең деуіне арналғ ан есепті қ арастырайық

(24-25)

мұ ндағ ы G – кө пө лшемді тұ йық аймақ Г шекарасы бойынша. (24-25) қ ойылымдары эволюциялық есептен қ арағ анда бастапқ ы шарт қ абылдамайды.

(24-25) есептерін стационарлы деп атайтын боламыз. Осығ ан орай эволюциялық есептерді параболалық тең деулерге сол шекаралық шарттармен жә не бастапқ ы алынғ ан мә ндермен қ арастырамыз:

(26)

Математикалық курстарында былай кө рсетілген: эволюциялық есептердің шешімі (26) ортаквадраттық шешімге байланысты стационарлы есептермен қ арастырылады (24-25).

Сонымен қ атар, (24-25) есептердің орнына элиптикалық тең деу ү шін эволюциялық есептерді алуғ а болады (26), параболалық тең деулер ү шін сол кең істік операторларымен алуғ а болады, бастапқ ы мә ндерді еркін таң дап жә не v(x, t) мә ндерін t бойынша есептеу керек. Стационарлы шектеу u(x), v(x, t) бойынша ұ мтылады жә не олар стационарлы есептің шешімі болады (24-25).

Мысал

Тор ә дісін пайдаланып, дифференциалды Лаплас тең деуін берілген шекаралық шарттарды шешуді қ ұ растырамыз, қ адамдары h=1, ,

Шешуі:

Г аймағ ы OY осіне қ атысты симметриялы, сондық тан тек бірінші ширек қ аралады. Г шекарасын қ ұ рамыз. Сурет 3 қ араймыз.

Сурет 3. Г аймағ ы.

h=1 қ адамды тор қ ұ рамыз.

Шекарада u(x, y) функциясының мә нін есептейміз, 3 кесте:

3 кесте. Шекарадағ ы функцияның мә ні

Функцияның u(x, y) мә нін анық тау ү шін ішкі нү ктеде осы мә ндерден тұ ратын тең деу жү йесін қ ұ рамыз. Ә рбір тең деу келесі айырым схемасынан пайда болады:

Сызық ты тең деудің жү йесі кеесі тү рде болады:

Жү йе итерация ә дісімен шешілген. Жү йенің шешілуі:

u₁₌2, 55, u₂₌2, 73, u₃₌3, 09, u₄=2, 73, u₅ =2, 83, u₆=3, 13, u₇=3, 53.

Осылайша, ә рбір тор тү йіні ү шін функция мә ні табылады.

8.5 Гиперболалық тең деу