Паралельне проеціювання та його властивості

1.2.1. Апарат паралельного проеціювання та його властивості

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

Апарат паралельного проеціювання складається з площини проекції П' і заданого напрямку проеціювання S, не паралельного до площини проекцій. Цей метод можна вважати окремим випадком центрального проеціювання, якщо центр проекцій віднести у нескінченність (S ^∞ ). (рис. 1.2, рис. 1.3).

Тоді проецюючі промені, що перетинаються у нескінченно віддаленій точці, будуть паралельні заданому напрямку S.

1.2.2. Властивості паралельних проекцій

1. Проекцією точки є точка. Це випливає із самого способу побудови проекцій точки.

Рис. 1.4.

2. Проекцією прямої лінії, в загальному випадку, є пряма лінія.

3. Проекцією точки, яка знаходиться на прямій ліні, є точка, яка знаходиться на проекції цієї прямої. Це випливає з визначення проекції фігури, яка є сумісністю всіх її точок (рис.1.4).

4. Проекціями паралельних прямих є паралельні прямі (рис.1.5).

Рис. 1.5. Рис. 1.6.

5. Проекцією багатокутника в загальному випадку є багатокутник (рис. 1.6).

6. Проекцією плоскої фігури в випадку, коли напрям площини цієї фігури співпадає з напрямом проеціювання є пряма лінія (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Рис. 1.8.

7. Якщо площина плоскої фігури паралельна до площини проекцій, то її проекція на цій площині є дійсною величиною (рис. 1.8).

1.2.3. Побудова зворотних креслень

Якщо задані напрям проеціювання та площина проекцій, то проекція точки простору визначається однозначно – це точка перетину проецюючого променя з площиною проекцій.

Зворотна ж задача відновлення точки в просторі за її проекцією не однозначна, бо в одну й ту ж точку на площині проекцій проецюється множина точок, що належать проецюючому променю.

Оборотність креслення може бути забезпечена додатковими умовами, наприклад, проеціюванням на дві площини проекцій, які не паралельні між собою, та наявності двох напрямів проеціювання.

1.2.4. Комплексне креслення (метод Монжа)

Рис. 1.9. Рис. 1.10. Рис. 1.11.

Найбільш поширеним методом, що застосовується при виконанні зображень, є метод ортогональних (прямокутних) проекцій або метод Монжа.

У методі Монжа площини проекцій взаємно перпендикулярні, а центри проеціювання віддалені в нескінченність, при цьому проецюючі промені перпендикулярні до площин проекцій. Метод можна вважати окремим випадком паралельного проеціювання.

На рис. 1.9 показані дві взаємно перпендикулярні площини. Одна розташована горизонтально (горизонтальна площина проекцій П₁), друга - вертикально (фронтальна площина проекцій П₂). Площини перетинаються по лінії, яка утворює вісь проекцій х.

Побудуємо ортогональні проекції точки А в системі площин проекцій П₁, П₂.

Проекції А₁ і А₂ однозначно вказують на положення точки А в просторі як точку перетину проецюючих прямих.

Креслення, що складаються з кількох (мінімум двох) зв’язаних між собою проекцій зображуваної фігури, називають комплексним кресленням.

Таким чином, коли усунули неоднозначність при виконанні проеціювання, ми одержали відображення на двох площинах, тоді як креслити фактично доводиться на одній – площині креслення. Тому в методі Монжа передбачається перехід від просторового розташування площин проекцій до “площинного”. Для цього горизонтальну площину проекцій П₁ обертаємо навколо осі х на кут 90^о до суміщення з площиною креслення, тобто з фронтальною площиною проекцій П₂ (рис. 1.10).

Таке креслення, яке одержане при суміщенні площин проекцій з площиною креслення, називається епюром Монжа, або просто епюром (рис. 1.11).