Анықталмаған жағдайда шешімдер қабылдау

Егер ортаның мү мкіндігі толық анық талмағ ан (яғ ни біз ә рбір бастапқ ы мә ліметтердің мү мкін бола алатын ық тималдығ ын тіпті жуық тап кө рсете алмасақ), онда шешімді таң дау кезіндегі жағ дай-ды стратегиялық ойын тү рінде бейнелейді. Онда бір ойыншы – шешім қ абылдайтын адам (ШҚ А), ал екіншісі – объективтік шындық, ол «табиғ ат» болып есептелінеді. Мұ ндай ойындардың шартын тө мендегі шешімдер кестесі арқ ылы кө рсетуге болады.

Кестедегі R₁, R₂,..., R_m – жолдары ШҚ А стратегияларын, ал S₁, S₂, …, S_n – бағ аналары «табиғ ат» стратегиялары (a_ij –R_i – жолы-мен S_j - бағ анасының қ илысындағ ы ШҚ А нә тижелілігінің шамасы).

Сө йтіп, шешімдер қ абылдау есептерінің математикалық мо-делі табиғ ат қ алыптарының {S_j} кө птігімен, стратегия жоспар-ларының {R_i} кө птігімен жә не мү мкін бола алатын нә тижелер ма-трицасымен || a _ij|| анық талады. Кейбір есептерде нә тижелілік ретін-де тә уекелдік матрицасы қ арастырылады || r _ij||.

Тә уекелдік (риск), нақ тылы стратегияларды қ абылдауда мү м-кін бола алатын ә ртү рлі нә тижелердің арасындағ ы сә йкес келмеу-шіліктің ө лшемі.

Тә уекелдіктер матрицасының элементтері нә тижелілік (пай-далылық, ұ тымдылық, шығ ын, шығ ыс) элементтер матрицасымен келесідей байланыста:

r _ij= a _j – a _ij (6.21)

мұ ндағ ы – пайдалылар матрицасының j-бағ анасындағ ы

максимальды элемент.

Егер мү мкін болатын нә тижелілік матрица || a _ij|| шығ ындар матрицасы болса, онда тә уекелдіктер матрицасының элементтерін келесі формуламен анық тайды:

R _ij= a_ij – a _i (6.22)

мұ ндағ ы – шығ ындар матрицасының j-бағ анасындағ ы

минимальды элемент.

Сонымен, егер «табиғ аттың» нақ тылы қ алпын білсек, онда осы қ алыптағ ы нә тижемен j -стратегияда алынғ ан нә тиженің айы-рымы тә уекелдік деп аталады.

Анық талмағ ан ситуацияда тә уекелдік матрица ұ тымдылық (пайдалылық) матрицасына қ арағ анда зерделеніп отырғ ан объектіні кө рнекі суреттейді.

Қ арастырылып отырғ ан ситуацияларда ең ұ тымды шешімді {R₁, R₂,..., R_m} кө птіктен таң дағ ан кезде тө мендегі критериялар қ олданылады:

1. Максимакстық критерия, немесе шеткі ү міттілік (опти-мизм) критериясы – ә рбір альтернативтер ү шін максимальдық нә тижелерді максимальдайтын альтернативті анық тайды, яғ ни ШҚ А i ₀ стратегиясын таң дайды, ал ол сә йкес:

2. Вальда- ның максиминдық критериясы, немесе шеткі тү ң ілушілік (пессимизм) критериясы - ә рбір альтернативтер ү шін минимальдық нә тижелерді максимальдайтын, альтернативті анық -тайды, яғ ни ШҚ А i ₀ стратегиясын таң дайды, ал ол сә йкес:

3. Сэвидж- дың минимакстық критериясы. Бұ л критерия бойынша, ең нашар жағ дайда тә уекелділіктің шамасы r _ij мини-мальды болатын, стратегия таң далады, яғ ни ол тең:

мұ ндағ ы тә уекелдік

4. Гурвиц- тің ү міттілік - тү ң ілушілік критериясы – ол шешім таң дағ ан кезде шеткі ү міттілік критериясында жә не шеткі тү ң ілушілік критериясында қ олданбауды ұ сынады. Бұ л критерия бойынша, шешім стратегиясы мына шарт арқ ылы қ абылданады:

мұ ндағ ы k тү ң ілушілік коэффициенті, оның мә ні нө лмен бірге дейін болуы мү мкін. Егер k =1 болса, онда Гурвиц формуласы Вальд формуласы тү ріне ө згереді, ал k > 0 – шеткі ү міттілік критериясына ауысады.

5. Лаплас (талғ аусыз) критериясы. Толық айқ ын емес болғ ан жағ дайда, ортаның барлық мү мкіндігі (табиғ аттың) тең ық тималды деп есептелінеді. Бұ л критерия максимальды орташа нә тижелі альтернативті (стратегияны) анық тайды, яғ ни:

Егер қ ойылғ ан шарттардың бағ аларымен жә не ортаның бар-лық мү мкін бола алатын қ алыптары ық тималдық тарының шешім-дер кестесі белгілі болса, онда ә рбір альтернативтерді бағ алау нә тижесінде олардың объективті EMV кү тілетін бағ асын анық -тауғ а болады. Альтернативтерді таң дау критериялардың ішіндегі ең кө п таралғ аны – максимальды EMV.

Ә рбір альтернетивтер ү шін барлық мү мкін болатын бағ алар шарттарын (ұ тыстарды) осы ұ тыстардың ық тималдығ ына кө бейт-кеннен кейінгі олардың сомасы арқ ылы сол альтернетивтердің EMV кү тілетін бағ асы алынады, яғ ни:

EMV=

a _ij– i-альтернативті таң дағ анда жә не ортаның j-қ алыпындағ ы

ШҚ А ұ тысының шамасы;

p _j – ортаның j-қ алпының пайда болу ық тималдығ ы.

Анық талғ ан жағ дайдағ ы ұ тыс шамасымен тә уекелдік жағ дай-дағ ы ұ тыс шамаларының айырымын нақ тылы ақ параттардың EMVI кү тілетін қ ұ ндылығ ы деп атайды.

EMVI анық тау ү шін, шешім қ абылдау алдында бізде нақ тылы дә йектелген ақ парат болғ ан жә не анық талғ ан жағ дайда, кү тілетін (орташа) табысқ а тең, біріншіден математикалық кү тілетін шама есептелінеді.

Нақ тылы ақ параттар белгілі болса, кү тілетін ұ тыс шамасы былай анық талады:

Одан

EMVI=

Ортаның қ алпы туралы бір кө птік жә не альтернативтік ше-шімдер туралы бір кө птігі бар есептерді талдағ ан кезде, шешімдер кестесін пайдаланғ ан ың ғ айлы. Бірақ кө птеген есептер ортаның қ алыптарынан жә не бірінен кейін бірі орындалатын шешімдерден тұ рады. Егер есепте, екі жә не одан да кө п бірінен кейін бірі орындалынатын шешімдер байқ алса жә не алдың ғ ы шешім одан кейінгіге алғ ашқ ы деректер ретінде қ олданатын болса, онда шешімдер ағ ашын қ ұ руғ а тура келеді.

Альтернативтік шешімдер, ортаның қ алыптары, сонымен қ атар кез келген альтернативтер жә не орта қ алыптарының бірлес-кен комбинацияларының ық тималдық тары мен ұ тыстары бейне-ленген шешімдер ү рдісін графикалық тү рде бейнелеу ­– шешімдер ағ ашы делінеді.

Шешімдер ағ ашы кө мегімен есептерді талдау бес кезең нен тұ рады:

– есепті қ алыптастыру (формулировка);

– шешімдер ағ ашын тұ рғ ызу;

– орта қ алыптарының ық тималдығ ын бағ алау;

– ә рбір мү мкін бола алатын альтернативтер жә не орта қ а-лыптарының бірлескен комбинациялары ү шін ұ тыстарды тағ айындау;

– орта қ алыптарының ә рбір тө белері ү шін EMV кү тілетін бағ асын есептеу арқ ылы есепті шешу.

Бір мысал қ арастырайық.

Мысал. Жоспарланғ ан аралық та транспорттық қ ызмет кө рсету жө нінде клиенттерінің сұ ранысын қ анағ аттандыру ү шін бір транспорттық кә сіпорын ө зінің тасымалдау мү мкіндік дең гейін анық тамақ шы делік.Транспорттық қ ызметке сұ раныс белгісіз, бірақ болжау жү ргізу нә тижесінде ол мына тө рт мә ннің біреуі болатыны (10, 15, 20 немесе 25 мың тонна) анық талды. Сұ раныстың ә рбір дең гейі ү шін кә сіпорынның ең тиімді (мү мкін болатын шығ ын мө лшері бойынша) тасымалдау мү мкіндік дең гейі болатыны да ескерілді. Бұ л дең гейлерден ауытқ у қ осымша шығ ынғ а ә келетіні, ал ол сұ ранысқ а қ арағ анда тасмалдау мү мкіндіктерінің артық болуынан (кейбір транспорттардың жұ мыссыз босқ а тұ руынан) немесе транспорттық қ ызмет кө рсетуде клиенттердің сұ ранысын қ анағ аттандыра алмаудан болуы мү мкін.

Тө менде тасымалдау мү мкіндіктерінің дамуына байланысты шығ ындардың мү мкін болатын болжанғ ан мә ндерін анық тайтын кесте берілген.

Оң тайлы стратегияны таң дау қ ажет.

Шешімі

Есептің шарты бойынша, тө рт нұ сқ а транспорттық қ ыз-метке сұ раныс, ал ол дегеніміз «табиғ аттың» тө рт қ алпына сә йкес келеді: S₁, S₂, S₃, S₄. Сонымен қ атар кә сіпорынның тасымалдау мү мкіндіктерінің тө рт стратегиясы белгілі: R₁, R₂, R₃, R₄. Тасымалдау мү мкіндіктерінің дамуына байланысты ә рбір жұ птар: S_i жә не R_i ү шін шығ ындар келесідей матрица тү рінде берілсін:

Лаплас принципі бойынша S₁, S₂, S₃, S₄ тең ық тималдылар. Олай болса, жә не ә ртү рлі іс-ә рекетте R₁, R₂, R₃, R₄ кү тілетін шығ ындар:

EMV { R ₁}= 0, 25·(6 +12 +20 + 24) = 15, 5;

EMV { R ₂}= 0, 25·(9 + 7 + 9 + 28) = 13, 25;

EMV {R ₃}= 0, 25·(23 +18 + 15 + 19) = 18, 75;

EMV { R ₄}= 0, 25·(27 + 24 +21 + 15) = 21.75.

Сонымен, Лаплас критериясы бойынша тасымалдау мү мкін-діктерінің даму стратегиясының ең ұ тымдысы R₂.

Енді есепке Вальда критериясын қ олдану жолын қ арасты-райық. Бұ л критерияны қ олдану, оқ ылып отырғ ан оъектінің ық ти-малдық қ алпы туралы S_i ақ параттарды қ ажет етпейді. Онда ең нашар страгиялар R_j ішінен ең жақ сысын таң дау кө зделуіне бай-ланысты, ол «абай болу» принципіне сү йенеді.

Егер алғ ашқ ы нә тижелер матрицасы (есептің шарты бойынша) a _ij, шешім қ абылдаушығ а шығ ындарды білдірсе, онда оң тайлы стратегияны(альтернативті) таң дауғ а минимакстық критерия қ а-былданады. Оң тайлы стратегияны R_j анық тау ү шін нә тижелік матрицаның ә рбір жолдары бойынша ең ү лкен элементтерді табу керек , одан кейін осы ең ү лкен элементтердің ішінен ең кішісі таң далынады, яғ ни мынадай ә рекет жасалынады:

Егер алғ ашқ ы нә тижелер матрицасы (есептің шарты бойынша) a _ji шешім қ абылдаушығ а ұ тыстардың пайдалылығ ын білдірсе, онда оң тайлы стратегияны (альтернативті) таң дауғ а максиминдік крите-рия қ абылданады. Оң тайлы стратегияны R_j анық тау ү шін нә тиже-лілік матрицаның ә рбір жолдары бойынша ең кіші элементтерді табу керек , осыдан кейін осы ең кіші элементтердің ішінен ең ү лкені таң далынады, яғ ни мынадай ә рекет жасалынады:

Біздің мысалда, алғ ашқ ы нә тижелілік матрицада (есептің шарты бойынша) a _ij шешім қ абылдаушының шығ ынын білдіреді. Сондық тан оң тайлы стратегияны таң дауғ а минимакстық критерия-ны қ олданғ ан ұ тымды. Ол ү шін жү ргізілген есептеулер келесі кестеде келтірілген:

Rj-стратегиялар	Si-қ алыптары жә не a ji –шығ ындар, а.ө.б.
S1	S2	S3	S4
R1						-
R2						-
R3
R4						-

Сонымен, минимакстық критерия «нашарлар арасындағ ы ең жақ сысы» бойынша тасымалдау мү мкіндіктерінің даму стратегия-сының ең ұ тымдысы R₃.

Ө зінің шектен тыс шеткі тү ң ілушілік (пессимизм) критерия-сы болуына байланысты, Вальда критериясы кейде логикадан тыс тұ жырымғ а алып келеді. Бұ л критерияның мұ ндай «тү ң ілушілігін» (пессимистичности) Сэвидж критериясы жө ндейді.

Сэвидж критериясы тә уекелдік матрицасын || r _ij|| қ олданады. Осы матрицаның элементтерін (6.21) жә не (6.22) формулалар арқ ылы анық тап, олар келесідей қ алыпқ а келтіріледі:

(6.23)

Формуладағ ы ө рнектер мынаны білдіреді: r _ij – дегеніміз ең жақ сыj –бағ анадағ ы мә ндермен j–бағ анасындағ ы a _ji элементтердің айырымы. Сонымен қ атар a _ij элементтері табыстар (пайдалар), жоқ ә лде шығ ындар ма, онысына қ арамастан r _ij екі жағ дайда да, шешім қ абылдаушығ а, шығ ындар шамасын анық тайды. Сө йтіп, r _ij матри-цасына тек минимакстық критерияны қ олдануғ а болады. Сэвидж критериясы, анық талмағ ан жағ дайда, ең нашар ситуацияда (тә уе-келдік максимальды болғ анда) тә уекелдік шамасы ең тө менгі мә нді қ абылдағ андағ ы стратегияны таң дауды ұ сынады.

Қ арастырылып отырғ ан мысал бойынша (6.23) формуламен || r _ij|| матрицаның элементтерін есептейміз:

Кестеде алынғ ан нә тижелер Сэвидждің минимальдық тә уе-келдік бойынша есептелген. Осы кестені келесідей формағ а тү р-лендірейік:

Rj-стратегиялар	Si-қ алыптары жә не a ji –тә уекелдік шамасы, а.ө.б.
S1	S2	S3	S4
R1
R2						-
R3						-
R4						-

Сонымен, тә уекелдік шамасын r _ij енгізу, ең нашар ситуацияда (тә уекелдік максимальды болғ анда) ө те аз шығ ынды қ амтамасыз ететін, бірінші стратегияны R₁ таң дауғ а алып келді.

Стратегияларды таң дағ анда Сэвидж критериясын қ олдану кез келген жолмен ү лкен тә уекелдіктен аулақ болуғ а мү мкіндік береді, яғ ни ол ү лкен шығ ынғ а ұ шыраудан сақ тандырады.

Гурвица критериясы екі жағ дайғ а негізделген: (1– α) ық ти-малдық пен «табиғ ат» ө те нашар ұ тымсыз қ алыпта жә не α ық ти-малдық пен ө те ұ тымды қ алыпта тұ руы мү мкін, мұ ндағ ы α – сенім коэффициенті. Егер a _ij – пайда, пайдалығ ы, табыс жә не т.б.с.с., онда Гурвица критериясы былай жазылады:

(6.24)

Егер a _ij – шығ ын, шығ ыс жә не т.б.с.с., онда Гурвица критериясы былай жазылады:

(6.25)

Егер α = 0, онда Вальда- ның максиминдық критериясы, немесе шеткі тү ң ілушілік (пессимизм) критериясынқ олданамыз.

Егер α = 1, онда максимакстық критерия, немесе шеткі ү міттілік (оптимизм) критериясын, яғ ни мына тү рдегі максимальдық нә тижелерді максимальдайтын критерияны аламыз.

Гурвица критериясы шеткі тү ң ілушілік (пессимизм) крите-риясымен шеткі ү міттілік (оптимизм) критериясы арасына, оларғ а сә йкес салмақ тарды: (1– α) жә не α, ө лшеу арқ ылы, баланс тұ р-ғ ызады. Мұ ндағ ы α мә ні, мына аралық та 0 ≤ α ≤ 1 жатады. Шешім қ абылдаушы адамның (ШҚ А) кә сіптік ың ғ айына (пессимизмге, жоқ ә лде оптимизмге ме) қ арай α –ның мә ні 0 ден 1 аралығ ында анық -талынады. ШҚ А тә жірибесі жоқ, дағ дыланбағ ан болса, онда α = 0, 5 деп қ абылдау ең дұ рыс шешім болып есептелінеді.

Қ арастырылып отырғ ан мысалымызғ а кө шейік. Айталық, α = = 0, 5. Керекті есептеулер нә тижелері келесі кестеде келтірілген:

W i
W 1
W 2			17.5	-
W 3				-
W 4				-

Есептің шешім нә тижесі бойынша оң тайлы W i таң дау.

Сонымен, мысалда қ андай шешім басқ аларына қ арағ анда ұ тымдырақ екенін дә йектеп, оң тайлы шешімді таң дау нә тижесінде:

– Лаплас критериясы бойынша – R₂ – стратегиясы таң далды;

– Вальда критериясы бойынша – R₃– стратегиясы таң далды;

– Сэвидж критериясы бойынша – R₁– стратегиясы таң далды;

– Гурвица критериясы бойынша, α = 0, 5 болғ анда – R₁– стра-тегиясы, ал егер ШҚ А пессимист болса (α = 0), онда R₃– стратегиясы таң далады.

Анық талмағ ан жағ дайда шешімдер қ абылдауда критерияны таң дау ә рекеттерді зерттеудің ең кү рделі жә не жауапты кезең дері болып саналады. Осығ ан байланысты берілетін жалпы кең ес немесе ұ сыныс осы уақ ытқ а дейін болғ ан емес. Ө зінің интуициясына жә не ө ткен тә жірибесіне сү йеніп, сонымен қ атар ө зінің қ ойғ ан мақ са-тына сә йкес жә не шығ арылатын есептің нақ тылы спецификасын ескеріп, критерияны шешім қ абылдайтын адам таң дауғ а тиіс.

Кейбір жағ дайларда, егер минимальдық тә уекелдікті қ абыл-дауғ а рұ қ сат жоқ болса, онда Вальда критериясын қ абылдағ ан жө н. Керісінше жағ дайда, яғ ни ШҚ А бірә з мө лшерде тә уекелдікті қ абылдай алса жә не ө кінбейтіндей мө лшерде кейбір кә сіпорынды қ аржыландыра алатындай болса, онда Сэвидж критериясын таң дағ ан ұ тымды.

Сонымен, шешімдер қ абылдау теориясының негізін қ ысқ аша баяндауды осымен аяқ таймыз. Шешімдер қ абылдау теориясымен терең ірек танысқ ысы келетін оқ ырмандарғ а мына ә дебиеттерді [1, 2 жә не т.б.] оқ уды ұ сынамыз.