Метод простой скользящей средней

На практике чаще используют метод скользящих средних, который предусматривает выравнивание ряда с помощью средних величин, рассчитанных, исходя из определенного числа звеньев ряда динамики (активного участка или участка сглаживания). При этом участок сглаживания постепенно смещается по временному ряду на одно значение.

Если предполагают, что тенденция ряда динамики содержит прямолинейную зависимость, то говорят о сглаживании на основе простой скользящей средней, например, трехзвенной, четырех- или пятизвенной скользящей средней, где каждый уровень ряда имеет весовой коэффициент равный единице. Поскольку сглаженное значение записывается напротив серединного звена активного участка, при использовании скользящей средней с четным числом звеньев, требуется дополнительная процедура центрирования, то есть, нахождение средней из двух серединных сглаженных значений.

При использовании активного участка с нечетным количеством звеньев ряд укорачивается на (k-1) значение. Если активный участок включает четное число звеньев, то исходный ряд становится короче на k значений, где k-число звеньев активного участка.

Процедура восстановления утраченных значений включает расчет среднего абсолютного прироста активного участка и нахождение недостающих значений на основе корректировки крайних сглаженных значений. Если определяются первые члены сглаженного ряда динамики, то рассчитывается средний абсолютный прирост первого активного участка, который вычитается из первого сглаженного значения, а если восстанавливаются последние значения, то рассчитывается средний абсолютный прирост последнего активного участка, который прибавляется к последнему сглаженному значению столько раз, сколько необходимо (Таблица 2.2).

Следует помнить, что данный метод, как и метод укрупнения интервалов, устраняет лишь случайные колебания. Сезонные колебания сохраняются и после сглаживания. Данные методы являются эмпирическими и не позволяют представить тенденцию в виде математической модели.

Пример 1. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней с нечётным числом звеньев

Выровняем ряд динамики численности занятых в ЦФО Российской Федерации с помощью трех- и пятизвенных простых скользящих средних. Результаты расчетов представлены в таблице 2.2.

При выравнивании ряда с помощью 5-тизвенной скользящей средней необходимо рассчитать среднюю величину значений первых пяти периодов и записать данное значение напротив третьего периода: ₃=(17250, 1 + 17027, 9 + 16827, 7 + 16598, 5 + 17437, 3)/5 = 17028, 3 тыс.чел.. После этого рассчитываем

среднее значение следующих пяти периодов с шагом в один год и так далее (графа 3 в таблице 2.2).

После расчёта всех средних рассматриваемый исходный ряд динамики уменьшился на 4 значения (n-1 = 5-1 = 4).

Восстановим первые утраченные уровни ряда. Для этого определим средний абсолютный прирост первого активного участка:

_1-5 = (17437, 3 - 17250, 1)/4 = 46, 8 тыс.чел.

Утраченное значение второго периода:

₂ = ₃ – _1-5 = 17028, 3 – 46, 8 = 16981, 5 тыс. чел.

Утраченное значение первого периода:

₁ = ₂ – _1-5 = 16981, 5 – 46, 8 = 16934, 7 тыс.чел. Восстановим последние утраченные значения. Определим средний абсолютный прирост последнего активного участка:

_11-15 = (18567, 8 - 18357, 4)/4 = 52, 6 тыс.чел.

Утраченное значение четырнадцатого периода:

₁₄ = ₁₃ + _11-15 = 18627, 8 + 52, 6 = 18680, 4 тыс. чел.

Утраченное значение пятнадцатого периода:

₁₅ = ₁₄ + _11-15 = 18680, 4 + 52, 6 = 18733, 0 тыс. чел.

В графе 8 таблицы 2.2 приведён пример сглаживания ряда динамики с помощью 3-хзвенной скользящей средней, из которого видно, что ряд сократился на два значения. Данные таблицы свидетельствуют о том, что чем больше длина активного участка, тем меньше колебаний имеет сглаженный ряд динамики.

Таблица 2.2

Среднегодовая численность занятых в ЦФО

	yt	Динамика числен-ности, сглажен-ная с помощью 5-ти звенной скольз. средней	yt	Динамика численности, сглаженная с помощью 4-х звенной скольз. средней	yt	Динамика числен-ности, сглажен-ная с помощью 3-х звенной скольз. средней	yt	Динамика числен-ности, сглажен-ная с помощью 5- ти звенной скольз. средней взвешен-ной
	17250, 1	16934, 7	17250, 1		17383, 9	17250, 1	17246, 4	17250, 1
	17027, 9	16981, 5	17027, 9	17166, 7	17027, 9	17035, 2	17027, 9
16926, 1
	16827, 7	17028, 3	16827, 7	16949, 5	16827, 7	16818, 0	16827, 7	16729, 3
16972, 9
	16598, 5	17084, 0	16598, 5	17035, 4	16598, 5	16954, 5	16598, 5	16848, 2
17098, 0
	17437, 3	17176, 3	17437, 3	17180, 7	17437, 3	17188, 1	17437, 3	17228, 7
17263, 5
	17528, 4	17334, 7	17528, 4	17391, 1	17528, 4	17485, 1	17528, 4	17555, 8
17518, 7
	17489, 6	17562, 1	17489, 6	17556, 0	17489, 6	17545, 9	17489, 6	17530, 9
17593, 3
	17619, 6	17718, 7	17619, 6	17679, 8	17619, 6	17614, 9	17619, 6	17571, 1
17766, 3
	17735, 5	17884, 5	17735, 5	17874, 8	17735, 5	17858, 5	17735, 5	17829, 8
17983, 2
	18220, 4	18079, 6	18220, 4	18088, 9	18220, 4	18104, 4	18220, 4	18131, 7
18194, 6
	18357, 4	18302, 1	18357, 4	18319, 1	18357, 4	18347, 6	18357, 4	18368, 5
18443, 7
	18464, 9	18558, 3	18464, 9	18543, 3	18464, 9	18518, 1	18464, 9	18493, 3
18642, 8
	18732, 1	18627, 8	18732, 1	18669, 1	18732, 1	18738, 0	18732, 1	18784, 3
18695, 4
	19016, 9	18680, 4	19016, 9	18703, 4	19016, 9	18772, 3	19016, 9
	18567, 8	18733, 0	18567, 8	18737, 7	18567, 8	18854, 4	18567, 8

Пример 2. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней с чётным числом звеньев

При сглаживании ряда по 4-хзвенной скользящей средней, на первом этапе, рассчитываются средние значения для четырехзвенного активного участка и записываются между 2-ым и 3-им периодом:

(17250, 1 + 17027, 9 + 16827, 7 + 16598, 5)/5 = 16926, 1 тыс. чел.

После этого рассчитывается среднее значение следующих четырёх периодов с шагом в один год и так далее (графа 5 в таблице 2.2).

Для центрирования сглаженных значений, находим среднее из двух соседних средних значений и записываем напротив 3-го звена активного участка: (16926, 1 + 16972, 9)/2 = 16949, 5 тыс.чел. Аналогично центрируются остальные сглаженные значения (графа 5 в таблице 2.2).

В результате преобразований исходный ряд динамики уменьшился на 4 звена (n = 4). Методика восстановления утраченных значений центрированного сглаженного ряда аналогична методике расчета, приведенной в предыдущем примере.