Характеристика и методы выбора теоретических кривых

Аналитическое выравнивание считается наиболее совершенным методом обработки рядов динамики. Данный метод предполагает выражение каждого уровня ряда в виде суммы систематической составляющей, характеризующей тенденцию, и случайной компоненты, отражающей отклонения от тренда. Систематическая составляющая находится на основании уравнения теоретической кривой , выбранной в качестве математической модели тренда. Порядок аналитического выравнивания сводится:

к выбору типа теоретической кривой, которая наиболее адекватно отразит тенденцию;

нахождению параметров уравнения выбранной теоретической кривой;

расчету выровненных (теоретических) уровней на основе полученного уравнения.

Прежде чем выбирать конкретный тип кривой, необходимо провести логический анализ анализируемого явления, т.е. ответить на следующие вопросы:

1. возможен ли бесконечный рост уровня ряда, если да, то какой он – равномерный, равноускоренный

2. есть ли точки насыщения

3. есть ли точки перегиба

4. есть ли асимптоты

В качестве теоретических кривых обычно используют прямую или полином 1 степени y_t= a₀+ a₁t,

полином 2 степени или параболу y_t= a₀+ a₁t+ a₂t²,

полиномом 3 степени или кривую y_t= a₀+ a₁t+ a₂t²+ a₃t³,

экспоненциальная кривая y_t = а*е^bt,

логарифмическую кривую y_t = a₀+ a_1*log(t).

Выбор теоретической кривой может опираться на графическое построение эмпирических данных – визуальный метод отбора, метод последовательных разностей, на расчет средней квадратической ошибки.

Визуальный метод – наиболее простой, но в значительной мере субъективен. Вместе с тем, при относительно простой конфигурации тенденции он может дать вполне приемлемые результаты.

Метод последовательных разностей используется для определения степени полинома:

1. определяются разности уровней (абсолютные приросты)

2. находят разности абсолютных приростов

3. находят разности разностей абсолютных приростов и т.д.

Определяют до тех пор, пока эти разности не будут примерно одинаковы. Порядок разностей определяет степень полинома.

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле:

4. Чтобы просчитать ошибку, нужно знать фактические (y_t) и теоретические () значения. При прочих равных условиях выбирают теоретическую кривую с меньшим значением ошибки.

Использование данного метода тоже не исключает возможности ошибки, поскольку всегда можно найти кривую, которая пройдет через все точки, но вряд ли можно такую кривую считать моделью линии тренда и тем более строить на ее основе прогноз.

Экономистами предлагается следующий подход для выбора формы кривой. На первом этапе проводится содержательный анализ, и отбираются типы кривых, которые наиболее близко описывают тенденции развития процесса, а на втором этапе рассчитываются параметры теоретических кривых, величина ошибки и выбирается кривая, удовлетворяющая минимальному ее значению.

3.2 Использование метода «наименьших квадратов» для расчета параметров модели

В основе расчета параметров теоретической кривой лежит метод «наименьших квадратов», в соответствии с которым теоретическая кривая располагается таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений всех фактических значений от теоретических была минимальной:

При этом для каждого вида теоретической кривой рассчитана своя система нормальных уравнений, на основе которых определяются коэффициенты регрессии и свободный член уравнений.

Так, для теоретической прямой y_t = a₀+ a₁t система нормальных уравнений имеет следующий вид.

∑ y_t=a₀+a₁∑ t

{

∑ y_tt =a₀∑ t +a₁∑ t²

t=1, …, n

n - количество членов ряда динамики,

t - номер периода.

Расчеты можно упростить путем переноса начала координат в середину ряда динамики. При этом, если число членов ряда нечетное, то нумерация членов ряда имеет следующий вид: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;, а если число членов ряда четное, то нумерация членов ряда выглядит следующим образом: -5; -3; -1; 1; 3; 5. Это обстоятельство надо иметь в виду, когда выбирается номер прогнозного периода для расчета прогноза.

В любом случае ∑ t будет равна нулю и значения a₀ и a₁ можно найти из уравнений:

a₀=∑ y_t/n

a₁=∑ y_tt/∑ t²

Применительно к параболе 2-го порядка, система нормальных уравнений имеет вид:

∑ y_t=a₀n +a₁∑ t+ a₂∑ t²

∑ y_tt =a₀∑ t +a₁∑ t²+a₂∑ t³

∑ y_tt² =a₀∑ t² +a₁∑ t³+a₂∑ t⁴

a₁=∑ y_tt/∑ t²

a₂=(n∑ y_tt -∑ t²- ∑ y_t)/(n∑ t⁴- (∑ t²)²)

a₀=∑ y_tt/n - ∑ t²/n[(n∑ y_tt -∑ t²- ∑ y_t)/(n∑ t⁴- (∑ t²)²)]

Исходя из уравнений, находятся параметры параболы, и строится график.

Рассмотрим пример сглаживания ряда с помощью теоретической прямой (Таблица 3.1) и рассчитаем прогнозное значение среднегодовой численности занятых в ЦФОна 2014 год.

Для теоретической прямой вида y_t = a₀ + a₁*t система нормальных уравнений имеет следующий вид:

a₀ = (∑ y_t - a₁∑ t)/n

a₁ = (n*∑ y_tt - ∑ t*∑ y_t) / (n*∑ t² – (∑ t)²)

Для расчёта коэффициентов а₀ и а₁ используем вспомогательную таблицу 3.1

Таблица 3.1.

Пример аналитического выравнивания ряда динамики на основе

теоретической прямой

266874, 1 = a₀ * 15 + a₁ *120

2177528, 5 = a₀ * 120 + a₁ * 1240

a₀ = 16576, 3 – начальный уровень выровненного ряда при t=0

a₁ = 151, 91 – средний ежегодный прирост численности занятых в ЦФО

Полученное уравнение теоретической прямой для расчёта динамики среднегодовой численности занятых в ЦФО имеет вид:

y_t = 16576, 3 + 151, 91*t.

Пример расчета ошибки для теоретической прямой приведен в таблице 3.2.

Таблице 3.2.

Расчет среднеквадратической ошибки для теоретической прямой

Рассчитаем среднеквадратическую ошибку для теоретической прямой, характеризующей среднегодовую численность занятых в ЦФО

Рассчитаем теоретическое значение численности занятых для 1995 года: y₁ = 16576, 3 + 151, 91*1 = 16728, 2 тыс.чел.

Рассчитаем прогноз численности занятых на 2014 год (t = 20):

y₂₀ = 16576, 3 + 151, 91*20 = 19 614, 6 тыс.чел.

Графически расчёт прогнозного значения осуществляется при построении линии тренда, как представлено на рисунке3.1.

.

Рис. 3.1.Выравнивание ряда динамики на основе теоретической прямой

Пример выравнивания ряда с помощью теоретической прямой методом переноса начала координат в середину временного ряда приведен в таблице 3.3.

Чтобы упростить расчет параметров а₀ и а₁, начало координат переносится в середину ряда динамики, то есть на восьмой период, при этом коэффициенты рассчитываются по формулам:

a₀=∑ y_t/n

a₁=∑ y_tt/∑ t²

a₀= 266874, 1 / 15

a₁= 42535, 7 /280

a₀ = 17791, 6 – средний уровень выровненного ряда при t=0

a₁ = 151, 91 – средний ежегодный прирост численности занятых в ЦФО

Уравнение теоретической прямой для расчёта динамики среднегодовой численности занятых в ЦФО:

y_t = 17791, 6 + 151, 91*t.

Таблица 3.3

Выравнивание ряда динамики с помощью теоретической прямой методом переноса начала координат в середину временного ряда

Рассчитаем теоретическое значение численности занятых в 1995 году (t= -7):

y₁₉₉₅ = 17791, 6 + 151, 91*(-7) = 16728, 2 тыс.чел.

Рассчитаем прогноз численности занятых на 2014 год (t = 12):

у₂₀₁₄ = 17791, 6 + 151, 91*12 = 19 614, 6 тыс.чел.