Расчет доверительных интервалов прогнозов.

Для определения прогнозного значения в уравнение тренда подставляют значение , соответствующее периоду упреждения, экстраполируя, тем самым, тенденцию, выявленную в анализируемом ряде динамики. Поскольку прогноз содержит только одно значение, он называется точечным прогнозом.

В дополнение к точечному прогнозу рекомендуется рассчитывать прогноз интервальный, который определяет разброс возможных изменений прогнозируемого показателя. Несовпадения фактических значений с прогнозным могут быть связаны с неправильным выбором кривой, а также погрешностями при оценивании параметров кривой или отклонениями отдельных уровней от линии тренда. Погрешности могут быть отражены в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, рассчитывается по формуле:

(5.1.),

где n – длина временного ряда;

L – период упреждения;

ŷ _n+L- точечный прогноз на момент n+L;

- значение t- статистики Стьюдента;

- средняя квадратическая ошибка прогноза.

Рассмотрим расчет доверительного интервала для ряда содержащего линейный тренд:

(5.2)

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. При этом погрешность параметра приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра – к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс.

С учетом разброса конкретных реализаций относительно линии тренда, дисперсию можно представить в виде:

(5.3),

где – дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t₁ – время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t₁= n + L;

t – порядковый номер уровней ряда, t=1, 2, …, n;

– порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(5.4)

Обозначим корень в выражении (5.4) через К.

Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или K*= t_α K. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(5.5)

Выражение, аналогичное (5.4), можно получить для полинома второго порядка:

(5.6)

или

(5.7)

Дисперсию отклонений фактических наблюдений от расчетных можно представить формулой:

(5.8)

где – фактические значения уровней ряда,

– расчетные значение уровней ряда,

n – длина временного ряда,

k – число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Следовательно, ширина доверительного интервала будет тем больше, чем меньше уровень значимости, больше период упреждения, среднее квадратическое отклонение от тренда и степень полинома.

В таблице 5.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 5.1

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда

при доверительной вероятности 0, 95