Оценка точности прогнозов

Качество выбранной модели можно оценить с помощью показателей точности и адекватности. Точность прогноза может характеризоваться величиной ошибки прогноза, то есть расхождением между фактическим и прогнозным значением.

Для оценки используют абсолютную, относительную и среднюю ошибки.

Абсолютную ошибку прогноза можно рассчитать по формуле:

(5.9),

где - прогнозное значение показателя,

- фактическое значение.

Для определения относительной ошибки прогноза используется формула:

(5.10)

На основе абсолютных и относительных ошибок рассчитываются средние ошибки по модулю соответственно по формулам:

(5.11);

(5.12),.

Где n – число уровней ряда динамики, для которого рассчитывается прогноз.

Если абсолютная и относительная ошибки имеют положительные значения, то считают прогнозную оценку завышенной, если – отрицательные значения, то говорят о заниженной прогнозной оценке.

Сравнительная точность моделей может характеризоваться величиной дисперсии (S²) или среднеквадратической ошибки прогноза (S):

; (5.13)

Точность модели тем выше, чем меньше полученные значения. Поскольку для проверки точности модели необходимы фактические значения прогнозных показателей, то поступают следующим образом.

Анализируемый ряд динамики делят на две части: по первой рассчитывают уравнение линии тренда, а по второй проверяют точность полученной модели.

Следует иметь в виду, что единичное совпадение точечного прогноза не дает основания для вывода о точности полученной модели. Лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с их фактическими значениями можно делать такие выводы, например, рассчитывая относительное число случаев подтверждения прогнозов (µ), путем деления числа прогнозов, подтвержденных фактическими данными (p), на число прогнозов подтвержденных (p) и не подтвержденных фактическими данными (q). При этом необходимо соблюдать равенство доверительных вероятностей, если коэффициенты сопоставляются для разных моделей.

5.3 Оценка адекватности прогнозов

Считается, что модель, адекватно описывает процесс, если несистематическая составляющая () уравнения удовлетворяет условию случайности, независимости и подчиняется закону нормального распределения.

Если модель выбрана неудачно, то отклонения от тренда не могут носить случайный характер, в силу возможной корреляции между собой. В этом случае констатируют автокорреляцию ошибок, которая снижает надежность полученных результатов.

Из ряда методов обнаружения автокорреляции наибольшее распространение получил метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Данный метод связан с проверкой гипотезы о существовании автокорреляции между соседними остаточными членами ряда ).

Этот критерий d рассчитывается по формуле:

(5.14)

Приближенно величина d равна:

(5.15),

где r₁ – коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e₁, e₂, …, e_n-1 и e₂, e₃, …, e_n).

Если имеет место полная корреляция, то есть r1равен1, или -1, то d будет равен соответственно 0 или 4.

В случае отсутствия автокорреляции, когда r1равен 0, то d будет равен 2.

Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах фактическое значение d сравнивается с табличными значениями критических границ критерия d1 и d2.

Таблица 5.2

Значения критерия Дарбина-Уотсона d₁ и d₂ при 5% уровне значимости

В таблице 5.2. приведены критические значения для разного числа наблюдений и числа независимых переменных в уравнении регрессии и 5% уровня значимости. В этой таблице d₁ и d₂ – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона; K’ – число переменных в модели; n – длина временного ряда.

В таблице 5.3.приведены возможные соотношения показателей.

При проверке отрицательной автокорреляции с критическими значениями сравнивается не сам коэффициент d, а (4 – d).

Таблица 5.3

Варианты соотношений расчетного значения d с критическими значениями доверительных границ d1 и d2

Другим условием адекватности модели является соответствие распределения остатков нормальному распределению. Поскольку анализируемые ряды динамики экономических показателей, как правило, небольшие (< 50), то проверку распределения на нормальность обычно проводят лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

Показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) при нормальном распределении равны нулю. Предполагая, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, можно рассчитать выборочные характеристики асимметрии

(5.16)

и эксцесса

, (5.17)

а также их среднеквадратические ошибки.

(5.16.)

(5.18)

где А – выборочная характеристика асимметрии;

Э – выборочная характеристика эксцесса;

– среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

– среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

;

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

;

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более точных критериев.

Контрольные вопросы к теме 5

1. Какие факторы влияют на ширину доверительного интервала?

2. Какая модель может считаться адекватной?

3. Назовите показатели, с помощью которых оценивается точность полученного прогноза

4. Что оценивается с помощью метода Дарбина –Уотсона?

5. Как можно оценить соответствие распределения остаточных величин нормальному распределению?

6. В чем особенность сравнения коэффициента d с табличными значениями при отрицательной автокорреляции?

6. ПОНЯТИЕ АДАПТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ.

Понятие адаптивных моделей. Расчеты прогнозов на основе адаптивных моделей.