Решение типового примера. Пусть координаты точек : А(-3;4;-3); В(-2;2;1); С(8;6;7); D(5;8;5).

Пусть координаты точек: А(-3; 4; -3); В(-2; 2; 1); С(8; 6; 7); D(5; 8; 5).

1.Произвольный вектор может быть разложен по базису следующим образом: _, где – проекции вектора на координатные оси ОХ, ОУ, ОZ, a –единичные векторы, направления которых совпадают с направлением осей ОХ, ОУ, ОZ.

Проекции вектора на оси находим следующим образом: из координат конца вектора вычитаем координаты начала вектора. Следовательно, координаты вектора (–2+3; 2–4; –1+3); (1; –2; 2), 2 (2; –4; 4). Координаты вектора (–3–8; 4–6; –3–7);

(–11; –2; –10); 3 (–33; –6; –30); 2 +3 (2–33; –4–6; 4–30);

2 +3 (–31; –10; –26); 2 +3 =–31 –10 –26 .

2. Модуль вектора вычисляется по формуле: .

(1; –2; 2); (11; 2; 10); (8: 4; 8). Тогда =3; =15; =12.

3. Проекция вектора (2 – ) на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора . (10; 4; 8); 2 (20; 8; 16); 2 – (19; 10; 14);

= .

4. Для того, чтобы найти косинус угла между векторами, нужно скалярное произведение этих векторов поделить на произведение их модулей.

Угол А – это угол между векторами и .

.

5. Условие коллинеарности векторов: соответствующие координаты должны быть пропорциональны.

2 +3 (–31; –10; –26); 2 (19; 10; 14);

.

Значит данные векторы не коллинеарны.

Условие перпендикулярности двух векторов: их скалярное произведение должно быть равно нулю.

=31∙ 19-10∙ 10-26 ∙ 14≠ 0, следовательно, данные векторы не перпендикулярны.