Эллипстің түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу.

(4) тең деу бойынша эллипстің бірнеше қ асиеттерін анық тайық..

Координата басына қ арағ анда симметриялы.

2) у=0 болса, болады, бұ дан х = ± а. Сондық тан эллипс ох осін А₁(-а; 0) жә не А₂(а; 0) нү ктелерінде қ ияды. Ал х=0 болғ анда шығ ады да, у=± в. Демек, эллипс оу осін В₁(0; -в), В₂(0; в) нү ктелерінде қ ияды. Эллипстің осьтермен қ иылысу нү ктелері (А₁, А₂, В₁, В₂) тө белері деп аталады.

3) (4) тең деуден . Бұ дан |х| £ а жә не |у|£ в. Бұ дан – а £ х £ а жә не –в £ у £ в. Сө йтіп, эллипстің нү ктелері жазық тық тың қ абырғ алары 2а жә не 2в болатын тік тө ртбұ рышпен шектелген бө лігінде жатады.

Теорема. Эллипстің кез келген М(х, у) нү ктесі ү шін тө мендегі қ атынас орындалады:

r₁ = a – x, r₂ = a + x.

Дә лелдеу. Жоғ арыда r₁ + r₂ = 2a болатыны кө рестілген. Сонымен қ атар, геометьриялық кескіндеме бойынша:

. Осы формулалардағ ы у² –ты эллипстің канондық тең деуінен тауып алып, алдың ғ ы формулаларғ а қ ойып тү рлендірсек, тө мендегі тең дік шығ ады:

Дә л осылайша r₂ = a + x.

Анық тама. x = a/ ; x= -a/ . тең деулерімен анық талатын екі тү зу эллипстің директрисалары деп аталады.

Теорема. Нү кте эллипсте жату ү шін оның фокусқ а дейінгі қ ашық тығ ының сә йкес директрисағ а дейінгі қ ашық тығ ына қ атынасы эксцентриситетке тең болуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Мысал. тең деуімен берілген эллипстің сол жақ фокусы мен тө менгі тө бесі арқ ылы ө тетін тү зудің тең деуін қ ұ р.

1) Эллипстің тө менгі тө бесінің координаталары: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Сол жақ фокусының координаталары: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Екі нү кте арқ ылы ө тетін тү зудің тең деуі:

Мысал. F₁(0; 0), F₂(1; 1) фокустары мен ү лкен осі 2 –ге тең болатын эллипстің тең деуін жаз.

Эллипстің тең деуі мынадай: . Мұ нда а мен b жарты ө стерін табу керек. Фокустарының ара қ ашық тығ ы:

2c = , сондық тан a² – b² = c² = ½

Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b =

Сонымен эллипстің тең деуі: .