Основні теоретичні факти. Розглянемо на координатній площині деяку лінію , а також рівняння

Розглянемо на координатній площині деяку лінію , а також рівняння . Домовимось називати дане рівняння рівнянням лінії , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на лінії, а також координати кожної точки на лінії задовольняють дане рівняння.

В курсі аналітичної геометрії вивчають тільки деякі із ліній, зокрема ті, які найчастіше зустрічаються в практичній діяльності - так звані алгебраїчні лінії першого та другого порядків. Лінію називають алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності де - деякі числові коефіцієнти, а показники степенів - натуральні числа або нулі. Сума називається степенем відповідного доданка. Найбільший із степенів доданків називають порядком лінії.

Наприклад, рівняння є рівнянням алгебраїчної лінії четвертого порядку. Відомі з шкільного курсу математики коло та парабола є алгебраїчними лініями другого порядку (нагадаємо, що рівняння цих ліній мають вигляд ).

Рівняння першого степеня, в якому хоча б один із коефіцієнтів біля змінних та відмінний від нуля (цю умову записують у виді або) у довільній афінній системі координат на площині визначає пряму.

Розглянемо основні способи задання прямої на площині.

1. Нехай деяка пряма задана на координатній площині точкою та паралельним до неї вектором (рис. 2). Такий вектор називають напрямним вектором прямої. Тоді її рівняння записується у виді

(1)

Його називають канонічним рівнянням прямої.

2. Нехай пряма задана двома точками та . У цьому випадку рівняння прямої має вид

_. (2)

Його називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

3. Прирівнявши відношення у рівності (1) до параметра , дістаємо

, ,

звідки

. (3)

Дані рівності називають параметричними рівняннями прямої. Якщо напрямний вектор - одиничний, тобто , то із (3) дістанемо

.

У цьому випадку модуль параметра має цілком конкретний геометричний зміст - це відстань між точками та на заданій прямій.

4. Нехай пряма d відтинає на координатних осях та відрізки з довжинами та (рис. 3). У цьому випадку рівняння прямої запишеться у виді

. (4)

Дане співвідношення називають рівнянням прямої у відрізках на осях.

5. Нехай система координат прямокутна декартова, а пряма d задається в ній точкою та перпендикулярним до неї вектором (рис. 4). Такий вектор називають вектором нормалі до прямої або нормальним вектором. У цьому випадку рівняння прямої має вид

(5)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного напрямку.

Нехай пряма утворює з додатнім напрямком осі Ох кут (система координат вважається прямокутною декартовою) та проходить через точку (рис. 5). Рівняння прямої має вид

, (6)

або

, ()

де . Рівняння (6) або () називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі . Очевидно, що рівняння прямих, які перпендикулярні до осі , у вигляді (6) подати не можна.

Розглянуті нами вище різні способи задання прямої в усіх випадках проводять до рівняння першого степеня. Тому рівняння називають загальним рівнянням прямої.

Зауважимо, що у загальному рівнянні прямої коефіцієнти біля змінних х та у мають конкретний геометричний зміст: вони визначають координати вектора, який паралельний до прямої – це вектор , а у випадку прямокутної декартової системи координат вектор перпендикулярний до прямої.

Нехай дві прямі d ₁ та d₂ задані своїми рівняннями:

: , : .

Їхнє взаємне розташування на площині суттєво залежить від напрямних векторів цих прямих: та . Зокрема, прямі та будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто, коли виконується рівність . Умова є необхідною і достатньою умовою паралельності прямих та . Якщо , то прямі та перетинаються. Паралельні прямі та співпадатимуть, якщо . Якщо рівняння прямих задано у виді та , то умовою паралельності є рівність .

У випадку перетину прямих та можна поставити питання про величину кута між прямими, зокрема встановити, в якому випадку прямі будуть перпендикулярними. Систему координат при цьому вважатимемо прямокутною декартовою.

Очевидно, що кут між прямими та визначається кутом між паралельними до цих прямих векторами та (рис. 6). Тому

.

Зокрема, прямі та будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли ,

Нехай прямі та задані рівняннями та відповідно. Тут

та – кутові коефіцієнти, тобто тангенси кутів та , які утворюють прямі з додатнім

напрямом осі . Нехай . Оскільки (рис. 7), то

звідки

Випадок перпендикулярності прямих та характеризується умовою (рис. 8). Тому , тобто

.

Одержана рівність виражає необхідну і достатню умову перпендикулярності двох прямих, заданих своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.