Приклади розв’язання задач. Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола .

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок (рис. 9). Тоді відстань від неї до осі буде рівна , а відстань від неї до центра заданого кола (точки ) дорівнюватиме . Оскільки радіус заданого кола рівний 2, а змінного кола , то

= +2.

Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі , дістаємо , звідки , або . Із одержаного рівняння робимо висновок, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь. Парабола .

Задача 2. Дослідити множину точок площини, відношення відстаней від кожної з яких до заданої точки та точки дорівнює 2.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок. Тоді відстань від неї до точки буде рівна , а відстань від неї до точки дорівнюватиме . Оскільки за умовою задачі , то =2 , звідки після очевидних перетворень дістаємо рівняння , або .

Відповідь. Шукана множина точок утворює коло з центром у точці , радіус якого 4.

Задача 3. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.

Розв’язання. Нехай задано трикутник ОВС. Виберемо систему координат у вигляді репера (рис.10). Тоді точки , та будуть серединами сторін та відповідно. Складемо рівняння медіан та , користуючись рівнянням прямої у відрізках на осях. Дістаємо або , або . Нехай прямі перетинаються у точці . Її координати ми знайдемо із системи

,

розв’язуючи яку, дістаємо . Рівняння медіани можна шукати у виді , оскільки пряма проходить через початок координат і не співпадає з віссю . Підставляючи координати точки , дістаємо , тобто . Отже, рівняння медіани має вигляд . Підставляючи знайдені вище координати точки в одержане рівняння, переконуємось у тому, що точка належить медіані , тобто медіани перетинаються в одній точці. Порівнюючи координати векторів та , встановлюємо, що . Аналогічно можна переконатися, що , .

Задача 4. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках , , та .

Розв’язання. Рівняння висоти складемо, знаючи вершину А та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти . Скориставшись співвідношенням (7), дістаємо або Аналогічно, знайшовши вектор , дістаємо рівняння висоти : або . Ортоцентр (точку ) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь. .

Задача 5. Знайти сторону квадрата, вписаного у прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівність звідки .

Відповідь. .

Задача 6. Довести, що середини паралельних основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка, в якій перетинаються прямі, яким належать бічні сторони, перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай - задана трапеція, точки та -середини основ та , -точка перетину діагоналей, - точка перетину прямих та , яким належать бічні сторони (рис. 11). Введемо в розгляд систему координат . Очевидні координати точок: , де число дорівнює відношенню довжин меншої та більшої основ. Покажемо, що точки та належать прямій . Рівняння прямої знайдемо, користуючись рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки. Дістаємо , або .

Для відшукання точки складемо рівняння діагоналей. Рівняння діагоналі запишеться у виді або (ми використали рівняння прямої у відрізках на осях), а рівняння діагоналі шукатимемо у виді . Підставляючи координати точки , отримуємо , звідки . Із системи рівнянь знаходимо . Знайдені координати точки задовольняють рівняння прямої .

Для відшукання точки складемо рівняння прямої : . Підставляючи в одержане рівняння значення , дістаємо . Залишається переконатися, що знайдені координати точки теж задовольняють рівняння прямої . Цим самим розв’язання задачі завершується.