![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Унимодальное
· полимодальные
· · (амодальное)
2) Медиана и квартили случайных величин Будем рассматривать непрерывные случайные величины. Квантилем порядка р называется корень уравнения
где
При
Таким образом, это значение случайной величины такое, что вероятность того, что случайная величина примет значение больше или меньше
3) Математическое ожидание случайной величины Рассмотрим дискретную случайную величину. Пусть произведено
При
которая называется математическим ожиданием дискретной случайной величины. Математическое ожидание называют еще центром рассеивания случайной величины. Другие обозначения:
Таким образом, при увеличении числа опытов среднее арифметическое значение случайной величины Эта связь между средним арифметическим и математическим ожиданием составляет содержание одной из форм закона больших чисел. Все формы закона больших чисел констатируют факт устойчивости некоторых средних при большом числе опытов. Сейчас речь идет об устойчивости среднего арифметического из ряда наблюдений одной и той же величины. При небольшом числе опытов среднее арифметическое их результатов случайно, при достаточном увеличении числа опытов оно становится «почти не случайным» и, стабилизируясь, приближается к постоянной величине – математическому ожиданию. Например, многократное взвешивание с вычислением среднего арифметического. При формальном (аксиоматическом) построении теории вероятностей доказываются следующие теоремы, выражающие закон больших чисел. а) Теорема Чебышева
б) Теорема Бернулли
где т – математическое ожидание случайной величины. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вводится путем предельного перехода. Пусть дана непрерывная случайная величина
где
Тогда
Переходим к пределу при
математическое ожидание непрерывной случайной величины Опираясь на формулы для математического ожидания нетрудно показать справедливость следующих свойств. 1с) 2с) 3с) 4с) Х и Y – независимые случайные величины. 4) Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Мода, медиана, математическое ожидание характеризуют положение случайной величины, но не характеризуют рассеивание.
Для характеристики рассеивания нужно рассматривать отклонение
Пусть имеем
при – среднее квадратическое отклонение случайной величины Величина
– связь между средним квадратическим отклонением и дисперсией. Для непрерывной случайной величины по аналогии с математическим ожиданием имеем
Проанализировав формулы для дисперсии мы можем рассматривать ее как математическое ожидание случайной величины
Вводится понятие центрированной случайной величины
и тогда
т.е. дисперсия есть математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины. Пользуются символами Опираясь на формулы для дисперсии, можно доказать такие свойства дисперсии. 1с) 2с) 3с)
Величину Для вычисления
Пары Если 5) Моменты случайной величины Сам термин и способ построения заимствовал из механики (статические, центробежные моменты, моменты инерции). Начальным моментом порядка
Очевидно Центральным моментом порядка
Центральные моменты выражаются через начальные.
Мы получили часто используемую формулу, связывающую дисперсию, начальный момент 2 го порядка и математическое ожидание.
Чем больше моментов мы рассматриваем, тем подробнее информация о случайной величине. Однако, надежно вычислить по опытным данным моменты высоких порядков бывает затруднительно. Поэтому в практических задачах моменты выше четвертого порядка не рассматриваются. Важным является центральный момент 3 го порядка.
Но величина Поэтому вводят безразмерную величину коэффициент асимметрии
Точно также вместо
Эксцесс характеризует остроконечность распределения по отношению к нормальному закону.
Пример 1. Найти дисперсию случайной величины
Решение. 1) Найдем математическое ожидание:
2) Найдем все возможные значения квадрата отклонения:
|