Распределение Пуассона. Пусть в схеме испытаний Бернулли

Пусть в схеме испытаний Бернулли

1) ;

2) ;

3) (можно ).

Что произойдет с биномиальным распределением?

.

– распределение Пуассона.

Это распределение однопараметрическое (параметр а).

Числовые характеристики распределения Пуассона найдем тоже предельным переходом.

То, что , можно использовать как подтверждение пуассоновского распределения.

Если по опытным данным

,

то это будет свидетельствовать в пользу гипотезы о пуассоновском распределении.

Как следует из предыдущего, при определенных условиях

.

Это выполняется, когда порядка нескольких сотен, а . Иногда закон Пуассона называют законом редких явлений.

Распределение Пуассона является точным в следующей задаче:

Пусть на оси х случайным образом размещены точки с выполнением следующих условий.

1) Вероятность попадания любого заданного числа точек на отрезок длиной зависит лишь от и не зависит от положения отрезка на оси х – однородность.

2) Точки расположены так, что вероятность иметь любое заданное число точек на каком-либо отрезке не зависит от того, сколько точек попало на любой другой отрезок, не пересекающийся с первым – независимость.

3) Точки расположены по одной – ординарность.

Пусть требуется определить вероятность того, что отрезок длиной содержит ровно точек. Количество точек здесь распределено по закону Пуассона. Если – средняя плотность точек, то и искомая вероятность

.

Если рассматривать события, происходящие во времени, то тогда мы имеем поток событий, т.е. последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Примеры:

· поступление вызовов на АТС;

· прибытие клиентов в мастерскую бытового обслуживания;

· последовательность отказов элементов в приборе.

Тогда вышеприведенные условия получают другие названия.

1) однородность стационарность;

2) независимость отсутствие последствия;

3) ординарность ординарность.

Такой поток называют простейшими (пуассоновскими).

Число называют интенсивностью потока – это среднее число событий появляющихся в единицу времени.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2 ^м. Найти вероятность того, что за пять минут поступит 2 вызова.

Решение. , выз., мин.

.

Событие практически невозможное.