Понятие о центральной предельной теореме

При знакомстве с законом больших чисел рассматривался «средний результат» большого числа случайных событий, но никак не затрагивался вопрос о предельном законе распределения при большом . Внимательное исследование этого вопроса показывает, что во многих случаях предельным законом выступает нормальный закон распределения.

Рассмотрим важный вопрос о причинах распространенности нормального закона, которая была замечена очень давно. Еще Гаусс пытался вывести нормальное распределение из некоторых формальных постулатов. В этом направлении и в дальнейшем были развернуты широкие исследования, продолжающиеся и сейчас. Работы, касающиеся условий, при которых возникает нормальное распределение, относятся к так называемой центральной предельной теореме.

Одним из следствий центральной предельной теоремы является локальная теорема Муавра-Лапласа, которая как раз утверждает, что

,

где , , – вероятность успеха в единичном испытании.

Иными словами при большом распределение Бернулли становится нормальным распределением.

Центральная предельная теорема существует во многих формах, но все они устанавливают условия, при которых возникает нормальный закон.

Впервые общий результат, который и называется центральной предельной теоремой, был получен Ляпуновым:

При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон распределения суммы случайных величин при становится нормальным.

Ограниченность дисперсий означает, что ни одна из случайных величин не превалирует над другими, т.е. все слагаемые вносят примерно одинаковый вклад в сумму. Практически замена распределения суммы величин нормальным законом бывает уже правомочна при 10 – 15 слагаемых.

Примером практического приложения (на качественном уровне) может служить теория стрельб. Отклонение одной из координат от точки прицеливания с большой точностью можно считать нормально распределенной случайной величиной. Как это объясняется. Можно представить суммой - отклонений от различных причин.

1 – ошибка в изготовлении снаряда,

2 – ошибка в наводке,

3 – ошибка из-за скорости ветра,

4 – ошибка из-за атмосферного давления

и.т.д.

Этих факторов может быть очень много, каждый из них не превалирует над другими. Таким образом, выполняются условия центральной предельной теоремы.

Нормальный закон проявляется и в других областях деятельности, например, в теории ошибок измерений.

Когда-то нормальный закон считался единственным предельным законом, однако потом оказалось, что в некоторых массовых явлениях создаются условия для появления предельных законов распределения, отличных от нормального закона.