Конечные разности и их свойства. Конечные разности в вычислительной математике имеют значение, аналогичное дифференциалам в анализе бесконечно малых величин.

Конечные разности в вычислительной математике имеют значение, аналогичное дифференциалам в анализе бесконечно малых величин.

Пусть даны равноотстоящие друг от друга узлы и известны соответствующие значения функции . Здесь – некоторое фиксированное значение аргумента.

Конечными разностями нулевого порядка называются величины равные значениям функции в узлах . Конечными разностями первого порядка называются величины

(1.6)

Конечные разности второго порядка определяются равенствами по отношению к разностям первого порядка

Разности n -го порядка определяются по формуле

. (1.7)

Конечные разности любого порядка легко выражаются через значения функции

(1.8)

Доказательство проведем по индукции. Пусть эта формула верна для . Покажем, что она будет верна и при .

.

Аналогично доказывается формула

(1.9)

Из определения конечных разностей вытекают следующие свойства

1. если , то ;

2. если , , то ;

3. конечные разности n –го порядка от многочлена степени n постоянны , а ;

4. .

Таблицу конечных разностей обычно располагают следующим образом:

Таблица 1.1 – Конечные разности

x
x0	f0
x1	f1
x2	f2
x3	f3
x4	f4
x5	f5
x6	f6