Модификации метода Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (3.1) с начальным условием (3.2). На отрезке зададим конечное множество точек .

Согласно методу Эйлера будем иметь

(3.4)

Более точным, в отличие от метода Эйлера, является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

и находят значение поля интегральных кривых в средней точке , то есть , а затем полагают

. (3.5)

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется «грубое приближение» решения , исходя из которого, находится направление поля интегральных кривых . Затем приближенно полагают

. (3.6)

Остаточные члены первого (3.5) и второго (3.6) улучшенных методов Эйлера на каждом шаге имеют порядок . Оценка погрешности в точке может быть получена с помощью двойного пересчета: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают приближенно по формуле

,

где – точное решение дифференциального уравнения.

Усовершенствованный метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого значения . А именно, исходя из грубого приближения

строим итерационный процесс

.

Итерации продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения и не совпадут. После чего принимают за приближенное значение . Если же алгоритм уточнения после трех – четырех итераций не приводит к совпадению требуемого числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг вычислений .

Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) и являются одношаговыми.