Метод Рунге-Кутта. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (3.1) с начальным условием (3.2)

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (3.1) с начальным условием (3.2). Выбирая шаг , на отрезке введем сетку , . Вычислим числа

,

.

Согласно обычному методу Рунге-Кутта последовательные приближенные значения искомой функции определяются по формуле

, (3.7)

где ,

Шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуется вычислять дробь

.

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.

Погрешность этого метода на каждом шаге есть величина порядка , если , а на всем отрезке порядок точности равен .

Оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку можно получить с помощью двойного просчета по формуле:

,

где – значение точного решения (3.1) в точке , а и – приближенные значения, полученные с шагом и .

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений. Кроме того, важным преимуществом этого метода является возможность применения «переменного шага».

Заметим, что для начала вычислений по методу Рунге-Кутта не нужно строить начальный отрезок.

При вычислении приближенного решения задачи (3.1)-(3.2) по формуле (3.7) удобно пользоваться схемой, приведенной в следующей таблице:

i	x	y
	…	…	… …	… …