Формула трапеций. Пусть , тогда линейное интерполирование выполняется по двум значениям и , принимаемым функцией на концах и

Пусть , тогда линейное интерполирование выполняется по двум значениям и , принимаемым функцией на концах и , т.е. кривая заменяется хордой, соединяющей конечные точки кривой (см. рисунок)

Интеграл от интерполяционного многочлена даст площадь трапеции ABCD. Поэтому и соответствующая формула численного интегрирования получила название формулы трапеций. Площадь трапеции ABCD, очевидно, равна

Таким образом,

(2.2)

Погрешность ее, в виду и определяется по формуле

Если – непрерывная функция на , и так как множитель сохраняет знак на , то по теореме о среднем, существует на такая точка , что

. (2.3)

Для увеличения точности формулы трапеций (2.2), разделим отрезок на равных частей длины . Рассмотрим частичный отрезок .

Для него получим

и согласно (2.3)

.

Сумма интегралов по всем частичным отрезкам даёт обобщённую формулу трапеций

, (2.4)

где

Величина есть среднее арифметическое из значений второй производной. Считая ее непрерывной функцией на , мы можем выбрать такую точку , что

,

а значит,

. (2.5)