Формула парабол

Пусть и интерполируется функция по трём точкам , , в которых известны её значения. Интерполяционный многочлен будет иметь вторую степень. Геометрически это означает, что мы проводим параболу через конечные и среднюю точки кривой (см. рисунок).

Квадратурная формула парабол имеет вид

. (2.6)

Эта формула называется также формулой Симпсона. Формула точна для функции , так как левая и правая части формулы (2.6) тождественно равны нулю, а значит, она точна и для любого многочлена третьей степени. Для нахождения погрешности формулы (2.6) рассмотрим многочлен третьей степени, удовлетворяющий условиям

.

Многочлен интерполирует по двум однократным узлам a и b и одному двукратному узлу c: .

Так как для формула Симпсона является точной, то

.

Погрешность формулы Симпсона имеет вид

.

Если считать, что имеет на отрезке непрерывную производную четвёртого порядка, то из представления остаточного члена интерполирования с кратными узлами, имеем

.

Поэтому

.

Так как множитель не изменяет знак на отрезке и – непрерывная функция на отрезке , то по теореме о среднем существует такая точка что

. (2.7)

Формула Симпсона также может быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям его. Разделим на чётное число (n=2m) равных частей длины = и возьмём сдвоенный частичный отрезок . Тогда, учитывая, что , имеем

.

Просуммировав по всем сдвоенным отрезкам , получим,

и

.

Если функция непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что

и для погрешности получим выражение

. (2.8)