O форме, придаваемой интегралу при вычислениях

Пусть – любой отрезок числовой оси, и рассматривается интеграл . Ставится задача: найти его приближённое значение по значениям функции в точках . Формулы для вычисления интегралов называют квадратурными.

Многие правила приближённых квадратур основаны на замене интегрируемой функции на всём отрезке или на его частях на более простую функцию , близкую к , легко интегрируемую точно и принимающую в узлах те же значения , что и . В качестве такой функции берут алгебраический или тригонометрический многочлен, либо дробно-рациональную функцию.

Когда отрезок интегрирования конечный и интегрируемая функция имеет высокую гладкость, то можно рассчитывать хорошо приблизить её многочленом невысокой степени. Если же сама функция или её производные невысоких порядков имеют особенности или даже обращаются в , то это затруднит приближение или сделает его вообще невозможным. В этом случае мы должны будем заранее освободиться от таких особенностей путём их выделения. Делается это при помощи разложения на два сомножителя , где имеет такие же особенности, как и , а – есть достаточно гладкая функция, и интеграл рассматривается в форме .

Такое же представление применяется и при вычислении несобственных интегралов вида . Причём, целесообразно разложить на множители , из которых первый характеризует закон убывания при , а – является гладкой функцией, допускающей хорошее приближение алгебраическими многочленами или рациональными функциями.

Функция называется весовой функцией или весом. При построении определённого квадратурного правила она считается фиксированной и p(x)> 0.